如图，菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，我们把菱形ABCD的对称中心称作菱形的中心．菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过1次这样的操作菱形中心

Question

如图，菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，我们把菱形ABCD的对称中心称作菱形的中心．菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过1次这样的操作菱形中心O所经过的路径长为______；经过18次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为______；经过3n（ n为正整数）次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为______．（结果都保留π）

Answer 1

∵菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，
∴△ABD是等边三角形，
BO=DO=1，
AO=

AD 2 -DO 2

=

3

，
第一次旋转的弧长= (60π×3)/(180) = (3)/(3) π，
∵第一、二次旋转的弧长和= (60π×3)/(180) + (60π×3)/(180) = (3)/(3) π+ (3)/(3) π= (23)/(3) π，
第三次旋转的弧长为： (60π×1)/(180) = (π)/(3)
∵18÷3=6，
故中心O所经过的路径总长=6（ (23)/(3) π+ (π)/(3) ）=（4

3

+2）π，
故经过3n（n为正整数）次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为：n×（ (23)/(3) π+ (π)/(3) ）= (23+1)/(3) nπ．
故答案为： (3)/(3) π，（4

3

+2）π， (23+1)/(3) nπ．