若以三角形的一边为边向形外作正三角形，以这边所对两个顶点为端点的线段称这个三角形的奇异线．如图1，以△ABC的边BC为边，向外作正△BCD，则AD是△ABC的一条奇异线．（1）如图2，CD，A

Question

若以三角形的一边为边向形外作正三角形，以这边所对两个顶点为端点的线段称这个三角形的奇异线．
如图1，以△ABC的边BC为边，向外作正△BCD，则AD是△ABC的一条奇异线．
（1）如图2，CD，AE都是△ABC的奇异线，求证：CD=AE；
（2）如图3，△ABC内接于 O，BD是它的奇异线，且点D在 O上，
①直接写出∠ABC=___度．
②若AB=2，BC=3，求奇异线BD的长．
（3）若图1△ABC中，∠BAC=30°，AB= √(2)，AC= √(3)，求△ABC的奇异线AD的长．

Answer 1

（1）证明：如图2，由题意可得：△ABD、△BCE为正三角形，
∴AB=DB，BC=BE，
∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠ABD+∠ABC=∠CBE+∠ABC，
即∠DBC=∠ABE；
在△DBC和△ABE中
∵

DB=AB

∠DBC=∠ABE

BC=BE

，
∴△DBC≌△ABE（SAS），
∴CD=AE；

（2） ①如图3，∵∠ADC=60°，
∴∠ABC=120°，
故答案为：120；

②如图①，

以BC为边向外作正△BCE，则BD=AE，
∴∠CBE=120°+60°=180°，
∴A，B，E在同一直线上，
∴BD=AE=AB+BE=AB+BC=2=3=5，


（3） 如图②，

以AC为边向外作正△ACE，则AD=BE，
在△ABE中，∠BAE=∠BAC+∠CAE=30°+60°=90°，
∵AB=√(2)，AE=AC=√(3)，
∴BE=√(AB2+AE2)=√(5)，
∴AD=BE=√(5)．