f(x)在0的领域内可导,且x→0（1+x+x分之f(x)）的x分之一次幂的极限=e的立方求f(0),f(0)的导数

Question

f(x)在0的领域内可导,且x→0（1+x+x分之f(x)）的x分之一次幂的极限=e的立方
求f(0),f(0)的导数

Answer 1

（1+x+x分之f(x)）的x分之一次幂表示如下【^后边表示幂次】：
=（1+x+f(x)/x）^ 1/x
=e³
（1+x/3）^1/x=(1+x/3)^x/3 *3=e³
所以可以知道x趋于0时
x+f（x）/x= x/3 【没有常数项,只可能有高阶无穷小项,因为x是无穷小】
f（x）= -2/3 * x²+o（x）
所以f（0）=0
f′（0）= -4/3x+o(x) =0
希望对你有帮助O(∩_∩)O~