如图,在平行四边形ABCD中,E为BC边上的一点,且AE与DE分别平分∠BAD和∠ADC

Question

如图,在平行四边形ABCD中,E为BC边上的一点,且AE与DE分别平分∠BAD和∠ADC

Answer 1

令△ADE的外接圆圆心为O.
∵AB∶AE＝5∶8,∴可利用赋值法,设AB＝5、AE＝8.
∵ABCD是平行四边形,∴AB＝DC、AB∥DC,∴∠BAD＋∠ADC＝180°,
又∠DAE＝（1/2）∠BAD、∠ADE＝（1/2）∠ADC,
∴∠DAE＋∠ADE＝（1/2）（∠BAD＋∠ADC）＝（1/2）×180°＝90°,∴∠AED＝90°,
∴AD是⊙O的直径,∴∠AFG＝90°、DO＝EO＝（1/2）AD.
∵DO＝EO,∴∠ODE＝∠OED,又∠ODE＝∠CDE,∴∠ODE＝∠CDE,∴DC∥OE.
∵ABCD是平行四边形,∴OD∥EC,又DC∥OE,∴ODCE是平行四边形,∴EO＝DC＝5,
∴（1/2）AD＝5,∴AD＝10.
∵∠AED＝90°,∴由勾股定理,有：DE＝√（AD^2－AE^2）＝√（100－64）＝6.
∵∠FAG＝∠EAD、∠AFG＝∠AED＝90°,∴△AFG∽△AED,∴∠AGF＝∠ADE.
由锐角三角函数定义,有：tan∠ADE＝AE/DE＝8/6＝4/3.
∴tan∠AGF＝tan∠ADE＝4/3.