已知抛物线经过三点A（4，3），B（x1，0），C（x2，0），且x1、x2是方程x2-6x-3x2−6x+21+17=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）直线y=2x+h与该抛物线相交于两点M（m，y1）、N（n，y2），m、n满

Question

已知抛物线经过三点A（4，3），B（x₁，0），C（x₂，0），且x₁、x₂是方程x²-6x-3√(x2−6x+21)+17=0的两根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线y=2x+h与该抛物线相交于两点M（m，y₁）、N（n，y₂），m、n满足关系式m²+n²=12，求这条直线的解析式．

Answer 1

（1）设y=√(x2−6x+21)则无理方程变为y²-3y-4=0．
解得y=4，y=-1（舍去）；
∴4=√(x2−6x+21)，化简得x²-6x+5=0．
∴A、B两点的坐标为（1，0）和（5，0）．
设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c．依题意，得：

a+b+c＝0

25a+5b+c＝0

16a+4b+c＝3

，
解得

a＝−1

b＝6

c＝−5

；
∴所求抛物线的解析式为y=-x²+6x-5．

（2）由题意知：-x²+6x-5=2x+h．
即x²-4x+5+h=0；
∴m+n=4，m•n=5+h；
又m²+n²=12
∴（m+n）²-2mn=12，
即4²-2（5+h）=12．
解得h=-3；
当h=-3时，△=（-4）²-4×1×2＞0成立．
∴直线的解析式为y=2x-3．