f（x）=x^2(x≤1）;a+bX（x＞1）试讨论当a,b为什么值时,f(x)在x=1处可导；又设对任意x,y满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy;,f'(0)=0,求f'（3）

Question

f（x）=x^2(x≤1） ; a+bX（x＞1）试讨论当a ,b为什么值时,f(x)在x=1处可导； 又设对任意x ,y满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy;,f'(0)=0,求f'（3）

Answer 1

（1）
可导的第一条要求是在x=1处左导数要等于右导数
即
f'(1-)=f'(1+)
在x≤1时,f'(x)=2x,所以f'(1-)=2
在x＞1时,f'(x)=b,所以f'(1+)=b
所以
b=2
可导的第二条要求是连续,即
f(1-)=f(1+)
在x≤1时,f(1)=1
在x＞1时,当x→1时,f(x)→a+b
所以须有
a+b=1
所以
a=1-b=-1
综上,a=-1,b=2时,f(x)在x=1处可导
（2）
因为f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)+2*0*0=2f(0)
所以f(0)=0
所以有：
f'(0)
=lim(Δx→0)[f(0+Δx)-f(0)]/Δx
=lim(Δx→0)f(Δx)/Δx
因为
f'(0)=0
所以
lim(Δx→0)[f(Δx)/Δx]=0
f'(x)
=lim(Δx→0)[f(x+Δx)-f(x)]/Δx
=lim(Δx→0)[f(x)+f(Δx)+2xΔx-f(x)]/Δx
=lim(Δx→0)[f(Δx)+2xΔx]/Δx
=lim(Δx→0)[f(Δx)/Δx+2x]
=lim(Δx→0)[f(Δx)/Δx]+2x
=0+2x
=2x
所以
f'(3)=2*3=6
如果还有不懂的,再补充吧……