已知数列An的通项是（4的N次方-2的N次方）,其前N项和为Sn.则数列（2的N次方/Sn）的前N项和.

Question

已知数列An的通项是（4的N次方-2的N次方）,其前N项和为Sn.则数列（2的N次方/Sn）的前N项和.

Answer 1

an=4^n-2^n,
则Sn=[4^(n+1)-4]/3-[2^(n+1)-2],于是
2^n/Sn=3*2^n/[4^(n+1)-3*2^(n+1)+2]
=3*2^n/{[2^(n+1)-1][2^(n+1)-2]}
=3{2^n/[2^(n+1)-2]-2^n/[2^(n+1)-1]},
它的前n项和=3{2/2-2/3+4/6-4/7+8/14-8/15+……+2^n/[2^(n+1)-2]-2^n/[2^(n+1)-1]}
=3{1-2^n/[2^(n+1)-1]}
=3[2^(n+1)-1-2^n]/[2^(n+1)-1]
=3(2^n-1)/[2^(n+1)-1].