已知a,b,c∈R,且三次方程f(x)=x^3-ax^2+bx-c=0有三个实根x1,x2,x3.(1)类比一元二次方程根与系数的关系写出此方程根与系数的关系(2)若a,b,c均大于零,试证明x1,x2,x3都大于零(3)若a∈Z,b∈Z且|b|

Question

已知a,b,c∈R,且三次方程f(x)=x^3-ax^2+bx-c=0有三个实根x1,x2,x3.
(1)类比一元二次方程根与系数的关系写出此方程根与系数的关系
(2)若a,b,c均大于零,试证明x1,x2,x3都大于零
(3)若a∈Z,b∈Z且|b|

Answer 1

(1)(x-x1)(x-x2)(x-x3)=x^3-ax^2+bx-c=0
(2)由上式得,x^3-(x1+x2+x3)x^2+(x1x2+x2x3+x1x3)x-x1x2x3=x^3-ax^2+bx-c;
x1+x2+x3=a; x1x2x3=c;x1x2+x2x3+x1x3=b;
由x1x2x3=c可知,三个根可能有一个为正数或者3个都为正数；
假设有一个为正数,不妨设x1为正,其余为负；
由x1+x2+x3=a>0,得x1>-(x2+x3),
x1(x2+x3)0,即x2^2+x3^2+x2x3