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对于函数f(x),设A={x|f(x)=x},B={x|f〔f(x)〕=x}1.求证:A包含于B2.f(x)=ax²-1(a∈R,x∈R),且A=B≠∅,求a的取值范围
题目详情
对于函数f(x),设A={x|f(x)=x},B={x|f〔f(x)〕=x} 1.求证:A包含于B
2.f(x)=ax² -1(a∈R,x∈R),且A=B≠∅,求a的取值范围
2.f(x)=ax² -1(a∈R,x∈R),且A=B≠∅,求a的取值范围
▼优质解答
答案和解析
(1).对于任意x∈A,有f(x)=x,则f(f(x))=f(x)=x,故x∈B.从而A包含于B
(2).A={x/ax~2-1=x},A=B≠空 即是说{x/a(ax~2-1)~2-1=x}={x/ax~2-1=x}≠空,也就是说对于一切x∈B,必然有x∈A.
将a(ax~2-1)~2-1-x因式分解为(ax~2-x-1)((ax)~2+ax+1-a).
故(ax)~2+ax+1-a=0没有异于ax~2-x-1=0的根的根.
a≠0时,后式的根为 (1±√4a+1)/2a,前式的根为(-1±√4a-3)/2a.
a≥3/4时,{1±√4a+1}包含{-1±√4a-3},解得a=3/4,
a<3/4时,前式无解,故显然可以
a=0时,前式无解,故显然可以.
(2).A={x/ax~2-1=x},A=B≠空 即是说{x/a(ax~2-1)~2-1=x}={x/ax~2-1=x}≠空,也就是说对于一切x∈B,必然有x∈A.
将a(ax~2-1)~2-1-x因式分解为(ax~2-x-1)((ax)~2+ax+1-a).
故(ax)~2+ax+1-a=0没有异于ax~2-x-1=0的根的根.
a≠0时,后式的根为 (1±√4a+1)/2a,前式的根为(-1±√4a-3)/2a.
a≥3/4时,{1±√4a+1}包含{-1±√4a-3},解得a=3/4,
a<3/4时,前式无解,故显然可以
a=0时,前式无解,故显然可以.
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