对于函数f(x),设A=｛x｜f(x)=x｝,B=｛x｜f〔f（x）〕=x｝1.求证：A包含于B2.f(x）=ax²-1（a∈R,x∈R）,且A=B≠∅,求a的取值范围

Question

对于函数f(x),设A=｛x｜f(x)=x｝,B=｛x｜f〔f（x）〕=x｝ 1.求证：A包含于B
2.f(x）=ax² -1（a∈R,x∈R）,且A=B≠∅,求a的取值范围

Answer 1

（1）.对于任意x∈A,有f(x)=x,则f(f(x))=f(x)=x,故x∈B.从而A包含于B
(2).A=｛x/ax~2-1=x｝,A=B≠空 即是说｛x/a(ax~2-1)~2-1=x｝=｛x/ax~2-1=x｝≠空,也就是说对于一切x∈B,必然有x∈A.
将a(ax~2-1)~2-1-x因式分解为(ax~2-x-1)((ax)~2+ax+1-a).
故(ax)~2+ax+1-a=0没有异于ax~2-x-1=0的根的根.
a≠0时,后式的根为 (1±√4a+1)/2a,前式的根为(-1±√4a-3)/2a.
a≥3/4时,｛1±√4a+1｝包含｛-1±√4a-3｝,解得a=3/4,
a＜3/4时,前式无解,故显然可以
a=0时,前式无解,故显然可以.