设f：x->y,g：y->x,设g.f为x上恒等的函数,证明：f是单射,g是满射

Question

设f：x->y,g：y->x,设g.f为x上恒等的函数,证明：f是单射,g是满射

Answer 1

用反证法证明.
先证f是单射.（回顾单射的定义：X的不同点的像一定不同）.用反证法.假设f不是单射,即有两个X上的不同点的像相同,即存在x1,x2两个不同点,它们都被f映成y.可是g再把y映回来的时候,只能映为x1或者x2或者其他一个什么点,即g.f不可能是恒等函数了：具体来说,分类讨论,（1）假如g.f(x1)=x1,即g(y)=x1,那么因为g是映射,所以g(y)不可能是x2,即g.f(x2)不是x2,说明g.f不是恒等函数 （2）假如g.f(x1)不等于x1,那g.f就地就不是恒等函数了.
2.再证g是满射.（回顾满射的定义：被映到的集合中的每个元素都有原像,即被映到的集合被映“满”了.）具体到此题中,是想证明对X当中的任何一个元素x,都存在y使得g(y)=x.用反证法证明.假设g不是满射,即X当中存在这样一个元素x0,Y中没有一个元素能被g映成x0.则矛盾立即得出：这个x0不可能经过g.f的复合映射之后变回自己,因为到了g这一层映射之后,x0根本不是像点.这样g.f（x0）不等于x0,即g.f不是恒等函数.