求在某一点的导数用定义求y=x^(2/3)的导函数、在x=1处的导数和在x=0处的右导数。麻烦写出具体的过程，先谢谢拉

Question

求在某一点的导数
用定义求y=x^(2/3)的导函数、在x=1处的导数和在x=0处的右导数。
麻烦写出具体的过程，先谢谢拉

Answer 1

为了书写清楚，我把lim(h趋近于0)简写为lim
y'=lim{[(x+h)^(2/3)-x^(2/3)]/h}
=lim{[(x^2+2hx+h^2)^(1/3)-(x^2)^(1/3)]/h}
根据x^3-y^3=(x-y)(x^2+y^2+xy)得
=lim(x^2+2hx+h^2-x^2)/{h*[(x^2+2hx+h^2)^(2/3)+(x^2)^(2/3)+(x^2+2hx+h^2)^(1/3)*(x^2)^(1/3)]}
=lim{(2x+h)/[x^2+2hx+h^2)^(2/3)+(x^2)^(2/3)+(x^2+2hx+h^2)^(1/3)*(x^2)^(1/3)]}
把上式的h换成0，得
y'=(2/3)x^(-1/3)
所以在x=1处的导数y'(x=1)=2/3
x=0处的右导数不存在
(式子有点长，看着可能不方便，请见谅)