高数证明题设f(x)在有限区间（a,b)内可导,但无界,证明：f'(x)在(a,b）内也无界,逆命题是否成立,试举例说明

Question

高数证明题
设f(x)在有限区间（a,b)内可导,但无界,证明：f'(x)在(a,b）内也无界,逆命题是否成立,试举例说明

Answer 1

证导函数无界.

任给 x, x0 属于 （a,b）, 存在 y 在x, x0 之间.使得:
f'(y) = f(x)-f(x0)/(x-x0).

所以 |f'(y)| >= |f(x)|/(b-a) - |f(x0)/(b-a)|.

固定x0,因函数无界,可以变动 x 使得 |f(x)| 大于任意指定正数, 从而|f'(y)| 可以大于任意指定正数. 所以 f'(x) 在(a,b)内也无界.

f'(x) 无界而f(x) 有界的例子：
f(x) = sin（1/x),  x属于 （0,1）.

我在网上找到的答案.