设函数F（X）在[0,∏]上连续,在（0,∏）内可导,求证：存在a∈（0,∏）,使得：F`（a）=-F(a)cota

Question

设函数F（X）在[0,∏]上连续,在（0,∏）内可导,求证：存在a∈（0,∏）,使得：F`（a）=-F(a)cota

Answer 1

设g(x)=F(x)sinx,则g'(x)=F'(x)sinx+F(x)cosx
则g(0)=g(π)=0,且g(x)在(0,π)内可导
由拉格朗日中值定理,在(0,π)内存在一点a,使
g'(a)=[g(π)-g(0)]/(π-0)=0
即F'(a)sina+F(a)cosa=0
F'(a)=-F(a)cota