设函数f(x)在[a,b]连续且可导,有f(a)=0,若f’（x）单调增加,则g(x)=f(x)/(x-a)也在(a,b)单调增加

Question

设函数f(x)在[a,b]连续且可导,有f(a)=0,若f ’ （x）单调增加,则g(x)=f(x)/(x-a)也在(a,b)单调增加

Answer 1

对g(x)求导得g‘（x）=(f'(x)(x-a)-f(x))/(x-a)^2,由于分母显然在（a,b）上大于零,所以只要证明
f'(x)(x-a)-f(x)>0即可,由于f(x)在[a,b]上连续可导,有拉格朗日定理可知对任意x属于[a,b],存在一个ε属于[a,x]使得
f(x)=f'(ε)(x-a),
即f'(x)(x-a)-f(x)=f'(x)(x-a)-f'(ε)(x-a)=(f'(x)-f'(ε))*(x-a),由于ε属于[a,x]和f'(x)单调增加可知f'(x)>f'(ε)
则易知g'(x)>0成立,即g(x)单调增加