微分方程(x^2-1)y'siny+2xcosy=2x-2x^3的通解是什么?

Question

微分方程(x^2-1)y'siny+2xcosy=2x-2x^3的通解是什么?

Answer 1

(X^2-1)y’siny+2xcosy=2x-2x^3
注意到 Cos’y=-y’siny
用P=cosy
则 dp/dx=-y’siny;
给方程变成
（1-x^2）P’+2xP=2x-2x^3
P’-[2x/(x^2-1)]*P=2x(1式)
就很好求解了
先求通解 P’/P=[2x/(x^2-1)]
lnP=ln(x^2-1)+C1
P=C1*(x^2-1)
用常数变异法继续 u=C1
P’=u’(x^2-1)+u*2x 代入(1式)
u’(x^2-1)+u*2x -[2x/(x^2-1)]*u*(x^2-1) =2x
u’=2x/(x^2-1)
u=ln(x^2-1)+C
即
P=u*(x^2-1)=(ln(x^2-1)+C)*(x^2-1)=cosy
方法二：
看到网友们用(uv)'=u'v+uv'的办法解方程,的确更容易,不过中间有个步骤符号弄错了
(x^2-1)*y'siny+2xcosy=2x(1-x^2)
请注意正负号的差别!
cos'y=-y'siny
(x^2-1)'=2x
所以可以这样猜测是(u/v)'=(u'v-uv')/v^2
-[cosy/(x^2-1)]'=[y'siny*(x^2-1)+2xcosy]/(x^2-1)^2
所以所给方程可以写成
[-cosy/(x^2-1)]' * (x^2-1)^2=2x(1-x^2)
即
[-cosy/(x^2-1)]'=2x(1-x^2)/(x^2-1)^2=2x/(1-x^2)
[cosy/(x^2-1)]'=2x/(x^2-1)
两边积分可以得到
cosy/(x^2-1)=ln(x^2-1)+C
也即是
cosy=[ln(x^2-1)+C]*(x^2-1)
最终结果都一样