已知f（x）为偶函数，且x＞0时，f(x)=1a-1x(a＞0)．（1）判断函数f（x）在（0，∞）上的单调性，并证明；（2）若f（x）在[12，2]上的值域是[12，2]

Question

已知f（x）为偶函数，且x＞0时， f(x)=(1)/(a) -(1)/(x) (a＞0) ．
（1）判断函数f（x）在（0，∞）上的单调性，并证明；
（2）若f（x）在 [(1)/(2) ，2] 上的值域是 [(1)/(2) ，2] ，求a的值；
（3）求x∈（-∞，0）时函数f（x）的解析式．

Answer 1

（本小题满分14分）
（1）函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．．…（1分）
证明如下：
任取0＜x ₁ ＜x ₂
f（x ₁ ）-f（x ₂ ）= (1)/(a) -(1)/(x1) -(1)/(a) +(1)/(x2)
= (1)/(x2) -(1)/(x1) = (x1 - x2)/(x1 x2) ．…（3分）
∵0＜x ₁ ＜x ₂
∴x ₁ -x ₂ ＜0，x ₁ x ₂ ＞0，
∴f（x ₁ ）-f（x ₂ ）＜0，即f（x ₁ ）＜f（x ₂ ），
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数..…（6分）
（2）由（1）知函数f（x）在区间[ (1)/(2) ，2]上是增函数，值域为[ (1)/(2) ，2 ]，．…（7分）
∴f（ (1)/(2) ）= (1)/(2) ，f（2）=2，．…（9分）
即

(1)/(a) -2=(1)/(2)

(1)/(a) -(1)/(2) =2

，解得a= (2)/(5) ..…（11分）
（3）设x∈（-∞，0），则-x∈（0，+∞），
∴f（-x）= (1)/(a) -(1)/(-x) =(1)/(a) +(1)/(x) ．…（12分）
又因为f（x）为偶函数，所以f（x）=f（-x）= (1)/(a) -(1)/(-x) = (1)/(a) +(1)/(x) ..…（14分）