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（2008•成都三模）如图1，在平行四边形ABCD中，AB=1，BD＝2，∠ABD=90°，E是BD上的一个动点．现将该平行四边形沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，如图2所示．（1）若F、G分别是AD、BC的中点，且AB
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（2008•成都三模）如图1，在平行四边形ABCD中，AB=1，BD＝| 2 |
（1）若F、G分别是AD、BC的中点，且AB∥平面EFG，求证：CD∥平面EFG；
（2）当图1中AE+EC最小时，求图2中二面角A-EC-B的大小．
BD＝| 2 |
（1）若F、G分别是AD、BC的中点，且AB∥平面EFG，求证：CD∥平面EFG；
（2）当图1中AE+EC最小时，求图2中二面角A-EC-B的大小．
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▼优质解答
答案和解析
（1）证明：∵AB∥平面EFG，平面ABD∩平面EFG=EF，∴AB∥EF．…（2分）
∵F是AD的中点．∴E是BD中点．
又∵G是BC的中点．∴GE∥CD．
∵CD⊄平面EFG，∴CD∥平面EFG．…（2分）
（2）由图1可知，当AE+EC最小时，E是BD的中点．
∵平面ABD⊥平面BCD，AB⊥BD，AB⊥平面BCD．
故以B为坐标原点，平行于CD的直线为x轴，BD所在的直线为y轴，AB所在的直线为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz．
则A（0，0，1），C（1，
，0），D（0，
，0），E（0，
，0）；
=（0，-
，0），
=（0，
，0）．…（2分）
设平面AEC的法向量为
2 2 2，0），D（0，
，0），E（0，
，0）；
=（0，-
，0），
=（0，
，0）．…（2分）
设平面AEC的法向量为
2 2 2，0），E（0，
，0）；
=（0，-
，0），
=（0，
，0）．…（2分）
设平面AEC的法向量为
2 2 22 2 2，0）；
=（0，-
，0），
=（0，
，0）．…（2分）
设平面AEC的法向量为
EA EA EA=（0，-
，0），
=（0，
，0）．…（2分）
设平面AEC的法向量为
2 2 22 2 2，0），
=（0，
，0）．…（2分）
设平面AEC的法向量为
EC EC EC=（0，
，0）．…（2分）
设平面AEC的法向量为
2 2 22 2 2，0）．…（2分）
设平面AEC的法向量为
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问题解析 问题解析
（1）通过AB∥平面EFG，证明AB∥EF，然后证明GE∥CD，即可求证CD∥平面EFG；
（2）以B为坐标原点，平行于CD的直线为x轴，BD所在的直线为y轴，AB所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz．求出平面AEC的法向量为
，平面BCE的一个法向量为
，利用cos＜
•
＞＝
即可求图2中二面角A-EC-B的大小． （1）通过AB∥平面EFG，证明AB∥EF，然后证明GE∥CD，即可求证CD∥平面EFG；
（2）以B为坐标原点，平行于CD的直线为x轴，BD所在的直线为y轴，AB所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz．求出平面AEC的法向量为
，平面BCE的一个法向量为
，利用cos＜
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＞＝
即可求图2中二面角A-EC-B的大小．
n1 n1 n11，平面BCE的一个法向量为
，利用cos＜
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＞＝
即可求图2中二面角A-EC-B的大小．
n2 n2 n22，利用cos＜
•
＞＝
即可求图2中二面角A-EC-B的大小．cos＜
n1 n1 n11•
n2 n2 n22＞＝
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n1 n1 n11•
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n1 n1 n11|•|
n2 n2 n22|即可求图2中二面角A-EC-B的大小．
名师点评 名师点评
本题考点： 本题考点：
用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定． 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．
考点点评： 考点点评：
本题是中档题，考查直线与平面平行的证明方法，判定定理与性质定理的应用，二面角的求法，考查空间想象能力，计算能力． 本题是中档题，考查直线与平面平行的证明方法，判定定理与性质定理的应用，二面角的求法，考查空间想象能力，计算能力．
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var userCity = "\u4e50\u5c71",
userProvince = "\u56db\u5ddd",
zuowenSmall = "3";
∵F是AD的中点．∴E是BD中点．
又∵G是BC的中点．∴GE∥CD．
∵CD⊄平面EFG，∴CD∥平面EFG．…（2分）
（2）由图1可知，当AE+EC最小时，E是BD的中点．
∵平面ABD⊥平面BCD，AB⊥BD，AB⊥平面BCD．
故以B为坐标原点，平行于CD的直线为x轴，BD所在的直线为y轴，AB所在的直线为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz．
则A（0，0，1），C（1，
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- 问题解析
- （1）通过AB∥平面EFG，证明AB∥EF，然后证明GE∥CD，即可求证CD∥平面EFG；
（2）以B为坐标原点，平行于CD的直线为x轴，BD所在的直线为y轴，AB所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz．求出平面AEC的法向量为
，平面BCE的一个法向量为n1
，利用cos＜n2
•n1
＞＝n2
即可求图2中二面角A-EC-B的大小．
•n1 n2 |
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- 名师点评
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- 本题考点：
- 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．
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- 本题是中档题，考查直线与平面平行的证明方法，判定定理与性质定理的应用，二面角的求法，考查空间想象能力，计算能力．
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- （1）通过AB∥平面EFG，证明AB∥EF，然后证明GE∥CD，即可求证CD∥平面EFG；
（2）以B为坐标原点，平行于CD的直线为x轴，BD所在的直线为y轴，AB所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz．求出平面AEC的法向量为
，平面BCE的一个法向量为n1
，利用cos＜n2
•n1
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即可求图2中二面角A-EC-B的大小．
•n1 n2 |
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- 本题考点：
- 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．
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- 本题是中档题，考查直线与平面平行的证明方法，判定定理与性质定理的应用，二面角的求法，考查空间想象能力，计算能力．
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2017-09-292017-09-29
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- 问题解析
- （1）通过AB∥平面EFG，证明AB∥EF，然后证明GE∥CD，即可求证CD∥平面EFG；
（2）以B为坐标原点，平行于CD的直线为x轴，BD所在的直线为y轴，AB所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz．求出平面AEC的法向量为
，平面BCE的一个法向量为n1
，利用cos＜n2
•n1
＞＝n2
即可求图2中二面角A-EC-B的大小．
•n1 n2 |
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（2）以B为坐标原点，平行于CD的直线为x轴，BD所在的直线为y轴，AB所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz．求出平面AEC的法向量为
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（2）以B为坐标原点，平行于CD的直线为x轴，BD所在的直线为y轴，AB所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz．求出平面AEC的法向量为
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- 本题考点：
- 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．
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- 考点点评：
- 本题是中档题，考查直线与平面平行的证明方法，判定定理与性质定理的应用，二面角的求法，考查空间想象能力，计算能力．
- 本题考点：
- 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．
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- 本题是中档题，考查直线与平面平行的证明方法，判定定理与性质定理的应用，二面角的求法，考查空间想象能力，计算能力．
- 考点点评：
- 本题是中档题，考查直线与平面平行的证明方法，判定定理与性质定理的应用，二面角的求法，考查空间想象能力，计算能力．
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zuowenSmall = "3";
看了 （2008•成都三模）如图1...的网友还看了以下：
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