（2012•江苏二模）如图，在四边形ABCD中，已知AB=13，AC=10，AD=5，CD=65，AB•AC＝50（1）求cos∠BAC的值；（2）求sin∠CAD的值；（3）求△BAD的面积．

Question

（2012•江苏二模）如图，在四边形ABCD中，已知AB=13，AC=10，AD=5，CD=√(65)，

AB

•

AC

＝50
（1）求cos∠BAC的值；
（2）求sin∠CAD的值；
（3）求△BAD的面积．√(65)，

AB

•

AC

＝50
（1）求cos∠BAC的值；
（2）求sin∠CAD的值；
（3）求△BAD的面积．√(65)

65

65

AB

•

AC

＝50
（1）求cos∠BAC的值；
（2）求sin∠CAD的值；
（3）求△BAD的面积．

AB

ABAB

AC

ACAC

Answer 1

（1）在四边形ABCD中，已知AB=13，AC=10，

AB

•

AC

＝50，则有 cos∠BAC=(AB•AC)/(|AB|•|AC|)=(50)/(13×10)=(5)/(13)．
（2）在△ADC中，AC=10，AD=5，CD=√(65)，cos∠CAD=(AC2+AD2−CD2)/(2AC•AD)=(3)/(5)，∴sin∠CAD=(4)/(5)．
（3）由（1）可得cos∠BAC=(5)/(13)，∴sin∠BAC=(12)/(13)，从而sin∠BAD=sin（∠BAC+∠CAD）=sin∠BAC•cos∠CAD+cos∠BAC•sin∠CAD
=(12)/(13)×(3)/(5)+(5)/(13)×(4)/(5)=(56)/(65)，
∴△BAD的面积S=(1)/(2)•AB•AD•sin∠BAD=28．

AB

ABABAB•

AC

ACACAC＝50，则有 cos∠BAC=(AB•AC)/(|AB|•|AC|)=(50)/(13×10)=(5)/(13)．
（2）在△ADC中，AC=10，AD=5，CD=√(65)，cos∠CAD=(AC2+AD2−CD2)/(2AC•AD)=(3)/(5)，∴sin∠CAD=(4)/(5)．
（3）由（1）可得cos∠BAC=(5)/(13)，∴sin∠BAC=(12)/(13)，从而sin∠BAD=sin（∠BAC+∠CAD）=sin∠BAC•cos∠CAD+cos∠BAC•sin∠CAD
=(12)/(13)×(3)/(5)+(5)/(13)×(4)/(5)=(56)/(65)，
∴△BAD的面积S=(1)/(2)•AB•AD•sin∠BAD=28． (AB•AC)/(|AB|•|AC|)

AB

•

AC

AB

•

AC

AB

ABABAB•

AC

ACACAC|

AB

|•|

AC

||

AB

|•|

AC

||

AB

ABABAB|•|

AC

ACACAC|=(50)/(13×10)=(5)/(13)．
（2）在△ADC中，AC=10，AD=5，CD=√(65)，cos∠CAD=(AC2+AD2−CD2)/(2AC•AD)=(3)/(5)，∴sin∠CAD=(4)/(5)．
（3）由（1）可得cos∠BAC=(5)/(13)，∴sin∠BAC=(12)/(13)，从而sin∠BAD=sin（∠BAC+∠CAD）=sin∠BAC•cos∠CAD+cos∠BAC•sin∠CAD
=(12)/(13)×(3)/(5)+(5)/(13)×(4)/(5)=(56)/(65)，
∴△BAD的面积S=(1)/(2)•AB•AD•sin∠BAD=28． (50)/(13×10)50505013×1013×1013×10=(5)/(13)．
（2）在△ADC中，AC=10，AD=5，CD=√(65)，cos∠CAD=(AC2+AD2−CD2)/(2AC•AD)=(3)/(5)，∴sin∠CAD=(4)/(5)．
（3）由（1）可得cos∠BAC=(5)/(13)，∴sin∠BAC=(12)/(13)，从而sin∠BAD=sin（∠BAC+∠CAD）=sin∠BAC•cos∠CAD+cos∠BAC•sin∠CAD
=(12)/(13)×(3)/(5)+(5)/(13)×(4)/(5)=(56)/(65)，
∴△BAD的面积S=(1)/(2)•AB•AD•sin∠BAD=28． (5)/(13)555131313．
（2）在△ADC中，AC=10，AD=5，CD=√(65)，cos∠CAD=(AC2+AD2−CD2)/(2AC•AD)=(3)/(5)，∴sin∠CAD=(4)/(5)．
（3）由（1）可得cos∠BAC=(5)/(13)，∴sin∠BAC=(12)/(13)，从而sin∠BAD=sin（∠BAC+∠CAD）=sin∠BAC•cos∠CAD+cos∠BAC•sin∠CAD
=(12)/(13)×(3)/(5)+(5)/(13)×(4)/(5)=(56)/(65)，
∴△BAD的面积S=(1)/(2)•AB•AD•sin∠BAD=28． √(65)

65

6565，cos∠CAD=(AC2+AD2−CD2)/(2AC•AD)=(3)/(5)，∴sin∠CAD=(4)/(5)．
（3）由（1）可得cos∠BAC=(5)/(13)，∴sin∠BAC=(12)/(13)，从而sin∠BAD=sin（∠BAC+∠CAD）=sin∠BAC•cos∠CAD+cos∠BAC•sin∠CAD
=(12)/(13)×(3)/(5)+(5)/(13)×(4)/(5)=(56)/(65)，
∴△BAD的面积S=(1)/(2)•AB•AD•sin∠BAD=28． (AC2+AD2−CD2)/(2AC•AD)AC2+AD 2−CD 2AC2+AD 2−CD 2AC2+AD 2−CD 22+AD 2−CD 22−CD 222AC•AD2AC•AD2AC•AD=(3)/(5)，∴sin∠CAD=(4)/(5)．
（3）由（1）可得cos∠BAC=(5)/(13)，∴sin∠BAC=(12)/(13)，从而sin∠BAD=sin（∠BAC+∠CAD）=sin∠BAC•cos∠CAD+cos∠BAC•sin∠CAD
=(12)/(13)×(3)/(5)+(5)/(13)×(4)/(5)=(56)/(65)，
∴△BAD的面积S=(1)/(2)•AB•AD•sin∠BAD=28． (3)/(5)333555，∴sin∠CAD=(4)/(5)．
（3）由（1）可得cos∠BAC=(5)/(13)，∴sin∠BAC=(12)/(13)，从而sin∠BAD=sin（∠BAC+∠CAD）=sin∠BAC•cos∠CAD+cos∠BAC•sin∠CAD
=(12)/(13)×(3)/(5)+(5)/(13)×(4)/(5)=(56)/(65)，
∴△BAD的面积S=(1)/(2)•AB•AD•sin∠BAD=28． (4)/(5)444555．
（3）由（1）可得cos∠BAC=(5)/(13)，∴sin∠BAC=(12)/(13)，从而sin∠BAD=sin（∠BAC+∠CAD）=sin∠BAC•cos∠CAD+cos∠BAC•sin∠CAD
=(12)/(13)×(3)/(5)+(5)/(13)×(4)/(5)=(56)/(65)，
∴△BAD的面积S=(1)/(2)•AB•AD•sin∠BAD=28． (5)/(13)555131313，∴sin∠BAC=(12)/(13)，从而sin∠BAD=sin（∠BAC+∠CAD）=sin∠BAC•cos∠CAD+cos∠BAC•sin∠CAD
=(12)/(13)×(3)/(5)+(5)/(13)×(4)/(5)=(56)/(65)，
∴△BAD的面积S=(1)/(2)•AB•AD•sin∠BAD=28． (12)/(13)121212131313，从而sin∠BAD=sin（∠BAC+∠CAD）=sin∠BAC•cos∠CAD+cos∠BAC•sin∠CAD
=(12)/(13)×(3)/(5)+(5)/(13)×(4)/(5)=(56)/(65)，
∴△BAD的面积S=(1)/(2)•AB•AD•sin∠BAD=28． (12)/(13)121212131313×(3)/(5)333555+(5)/(13)×(4)/(5)=(56)/(65)，
∴△BAD的面积S=(1)/(2)•AB•AD•sin∠BAD=28． (5)/(13)555131313×(4)/(5)444555=(56)/(65)，
∴△BAD的面积S=(1)/(2)•AB•AD•sin∠BAD=28． (56)/(65)565656656565，
∴△BAD的面积S=(1)/(2)•AB•AD•sin∠BAD=28． (1)/(2)111222•AB•AD•sin∠BAD=28．