如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，（1）试判断四边形PQMN为怎样四边形，并证明你的结论．（2）求∠NMQ的大小．

Question

如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，
（1）试判断四边形PQMN为怎样四边形，并证明你的结论．
（2）求∠NMQ的大小．

Answer 1

（1）四边形PQMN为菱形．理由如下：
如图，连接BD、AC．
∵△ADE、△ECB是等边三角形，
∴AE=DE，EC=BE，∠AED=∠BEC=60°，
∴∠AEC=∠DEB=120°，
在△AEC与△DEB中，

AE＝DE

∠AEC＝∠DEB

EC＝EB

，
∴△AEC≌△DEB（SAS），
∴AC=BD；
∵M、N是CD、AD的中点，
∴MN是△ACD的中位线，即MN=(1)/(2)AC；
同理可证得：NP=(1)/(2)DB，QP=(1)/(2)AC，MQ=(1)/(2)BD；
∴MN=NP=PQ=MQ，
∴四边形NPQM是菱形；

（2）∵由（1）知，△AEC≌△DEB，
∴∠ACE=∠DBE，
∴∠CEB=∠CAB+∠DBE=∠CAB+∠ACE=60°，
∴∠AOB=120°
又∵∠NMQ=∠DOC=∠AOB，
∴∠NMQ=120°．

AE＝DE

∠AEC＝∠DEB

EC＝EB

AE＝DE

∠AEC＝∠DEB

EC＝EB

AE＝DE

∠AEC＝∠DEB

EC＝EB

AE＝DE

∠AEC＝∠DEB

EC＝EB

AE＝DEAE＝DEAE＝DE∠AEC＝∠DEB∠AEC＝∠DEB∠AEC＝∠DEBEC＝EBEC＝EBEC＝EB，
∴△AEC≌△DEB（SAS），
∴AC=BD；
∵M、N是CD、AD的中点，
∴MN是△ACD的中位线，即MN=(1)/(2)AC；
同理可证得：NP=(1)/(2)DB，QP=(1)/(2)AC，MQ=(1)/(2)BD；
∴MN=NP=PQ=MQ，
∴四边形NPQM是菱形；

（2）∵由（1）知，△AEC≌△DEB，
∴∠ACE=∠DBE，
∴∠CEB=∠CAB+∠DBE=∠CAB+∠ACE=60°，
∴∠AOB=120°
又∵∠NMQ=∠DOC=∠AOB，
∴∠NMQ=120°． (1)/(2)111222AC；
同理可证得：NP=(1)/(2)DB，QP=(1)/(2)AC，MQ=(1)/(2)BD；
∴MN=NP=PQ=MQ，
∴四边形NPQM是菱形；

（2）∵由（1）知，△AEC≌△DEB，
∴∠ACE=∠DBE，
∴∠CEB=∠CAB+∠DBE=∠CAB+∠ACE=60°，
∴∠AOB=120°
又∵∠NMQ=∠DOC=∠AOB，
∴∠NMQ=120°． (1)/(2)111222DB，QP=(1)/(2)AC，MQ=(1)/(2)BD；
∴MN=NP=PQ=MQ，
∴四边形NPQM是菱形；

（2）∵由（1）知，△AEC≌△DEB，
∴∠ACE=∠DBE，
∴∠CEB=∠CAB+∠DBE=∠CAB+∠ACE=60°，
∴∠AOB=120°
又∵∠NMQ=∠DOC=∠AOB，
∴∠NMQ=120°． (1)/(2)111222AC，MQ=(1)/(2)BD；
∴MN=NP=PQ=MQ，
∴四边形NPQM是菱形；

（2）∵由（1）知，△AEC≌△DEB，
∴∠ACE=∠DBE，
∴∠CEB=∠CAB+∠DBE=∠CAB+∠ACE=60°，
∴∠AOB=120°
又∵∠NMQ=∠DOC=∠AOB，
∴∠NMQ=120°． (1)/(2)111222BD；
∴MN=NP=PQ=MQ，
∴四边形NPQM是菱形；

（2）∵由（1）知，△AEC≌△DEB，
∴∠ACE=∠DBE，
∴∠CEB=∠CAB+∠DBE=∠CAB+∠ACE=60°，
∴∠AOB=120°
又∵∠NMQ=∠DOC=∠AOB，
∴∠NMQ=120°．