数学活动课上，小君在平面直角坐标系中对二次函数图象的平移进行了研究．图①是二次函数y=（x-a）2+a3（a为常数）当a=-1、0、1、2时的图象．当a取不同值时，其图象构

Question

数学活动课上，小君在平面直角坐标系中对二次函数图象的平移进行了研究．
图①是二次函数y=（x-a）²+ (a)/(3)（a为常数）当a=-1、0、1、2时的图象．当a取不同值时，其图象构成一个“抛物线簇”．小君发现这些二次函数图象的顶点竟然在同一条直线上！
（1）小君在图①中发现的“抛物线簇”的顶点所在直线的函数表达式为___；
（2）如图②，当a=0时，二次函数图象上有一点P（2，4）．将此二次函数图象沿着（1）中发现的直线平移，记二次函数图象的顶点O与点P的对应点分别为O₁、P₁．若点P₁到x轴的距离为5，求平移后二次函数图象所对应的函数表达式．

Answer 1

（1）∵当a=-1时，抛物线的顶点为（-1，-(1)/(3)），当a=0时，抛物线的顶点为（0，0），
∴设直线为y=kx，
代入（-1，-(1)/(3)）得，-(1)/(3)=-k，
解得k=(1)/(3)，
∴“抛物线簇”的顶点所在直线的函数表达式为y=(1)/(3)x，
故答案为y=(1)/(3)x．
（2）由题意得：点P₁D的纵坐标为5或-5，
∴抛物线沿着直线向上平移了1个单位或向下平移了9个单位，
∴此时点O₁的纵坐标为1或-9，
代入直线y=(1)/(3)x求得横坐标为3或-27，
∴点O₁的坐标为 （ 3，1）或 （-27，-9），
∴平移后的二次函数的表达式为y=（x-3）²+1或y=（x+27）²-9．