在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足∠EAF=12∠DAB，试猜想当∠B与∠D满足时，可使得DE+BF=EF．

Question

在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足∠EAF=(1)/(2)∠DAB，试猜想当∠B与∠D满足______时，可使得DE+BF=EF．(1)/(2)∠DAB，试猜想当∠B与∠D满足______时，可使得DE+BF=EF．(1)/(2)1122

Answer 1

当∠ABC+∠D=180°时，DE+BF=EF．理由如下：
在CB的延长线上取一点G，使BG=DE，连接AG．
∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABG=180°，
∴∠ABG=∠D．
在△ABG与△ADE中，

AB＝AD

∠ABG＝∠D

BG＝DE

，
∴△ABG≌△ADE（SAS），
∴∠BAG=∠DAE，AG=AE，
∴∠BAG+∠BAF=∠DAE+∠BAF=∠DAB-∠EAF=∠DAB-(1)/(2)∠DAB=(1)/(2)∠DAB，
∴∠GAF=∠EAF．
在△AGF与△AEF中，

AG＝AE

∠GAF＝∠EAF

AF＝AF

，
∴△AGF≌△AEF（SAS），
∴GF=EF．
∵GB+BF=GF，
∴DE+BF=EF．
故答案为∠ABC+∠D=180°．

AB＝AD

∠ABG＝∠D

BG＝DE

AB＝AD

∠ABG＝∠D

BG＝DE

AB＝AD

∠ABG＝∠D

BG＝DE

AB＝AD

∠ABG＝∠D

BG＝DE

AB＝ADAB＝ADAB＝AD∠ABG＝∠D∠ABG＝∠D∠ABG＝∠DBG＝DEBG＝DEBG＝DE，
∴△ABG≌△ADE（SAS），
∴∠BAG=∠DAE，AG=AE，
∴∠BAG+∠BAF=∠DAE+∠BAF=∠DAB-∠EAF=∠DAB-(1)/(2)∠DAB=(1)/(2)∠DAB，
∴∠GAF=∠EAF．
在△AGF与△AEF中，

AG＝AE

∠GAF＝∠EAF

AF＝AF

，
∴△AGF≌△AEF（SAS），
∴GF=EF．
∵GB+BF=GF，
∴DE+BF=EF．
故答案为∠ABC+∠D=180°． (1)/(2)111222∠DAB=(1)/(2)∠DAB，
∴∠GAF=∠EAF．
在△AGF与△AEF中，

AG＝AE

∠GAF＝∠EAF

AF＝AF

，
∴△AGF≌△AEF（SAS），
∴GF=EF．
∵GB+BF=GF，
∴DE+BF=EF．
故答案为∠ABC+∠D=180°． (1)/(2)111222∠DAB，
∴∠GAF=∠EAF．
在△AGF与△AEF中，

AG＝AE

∠GAF＝∠EAF

AF＝AF

，
∴△AGF≌△AEF（SAS），
∴GF=EF．
∵GB+BF=GF，
∴DE+BF=EF．
故答案为∠ABC+∠D=180°．

AG＝AE

∠GAF＝∠EAF

AF＝AF

AG＝AE

∠GAF＝∠EAF

AF＝AF

AG＝AE

∠GAF＝∠EAF

AF＝AF

AG＝AE

∠GAF＝∠EAF

AF＝AF

AG＝AEAG＝AEAG＝AE∠GAF＝∠EAF∠GAF＝∠EAF∠GAF＝∠EAFAF＝AFAF＝AFAF＝AF，
∴△AGF≌△AEF（SAS），
∴GF=EF．
∵GB+BF=GF，
∴DE+BF=EF．
故答案为∠ABC+∠D=180°．