如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E、F在对角线AC上，且∠ABF=∠CDE，AE=CF．（1）求证：△ABF≌△CDE；（2）当四边形ABCD满足什么条件时，四边形BFDE是菱形？为什么？

Question

如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E、F在对角线AC上，且∠ABF=∠CDE，
AE=CF．

（1）求证：△ABF≌△CDE；
（2）当四边形ABCD满足什么条件时，四边形BFDE是菱形？为什么？如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E、F在对角线AC上，且∠ABF=∠CDE，
AE=CF．

（1）求证：△ABF≌△CDE；
（2）当四边形ABCD满足什么条件时，四边形BFDE是菱形？为什么？

Answer 1

（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA．
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE．
在△ABF和△CDE中，

∠BAC=∠DCA

∠ABF=∠CDE

AF=CE

，
又∵∠ABF=∠CDE，
∴△ABF≌△CDE（AAS）；
（2） 当四边形ABCD满足AB=AD时，四边形BEDF是菱形．理由如下：
连接BD交AC于点O，如图所示：
由（1）得：△ABF≌△CDE，
∴AB=CD，BF=DE，∠AFB=∠CED，
∴BF∥DE．
∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
∴BD⊥AC．
∵BF=DE，BF∥DE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴四边形BEDF是菱形．

∠BAC=∠DCA

∠ABF=∠CDE

AF=CE

∠BAC=∠DCA

∠ABF=∠CDE

AF=CE

∠BAC=∠DCA

∠ABF=∠CDE

AF=CE

∠BAC=∠DCA

∠ABF=∠CDE

AF=CE

∠BAC=∠DCA

∠ABF=∠CDE

AF=CE

∠BAC=∠DCA ∠ABF=∠CDE AF=CE ∠BAC=∠DCA ∠BAC=∠DCA∠BAC=∠DCA  ∠ABF=∠CDE ∠ABF=∠CDE∠ABF=∠CDE  AF=CE AF=CEAF=CE  ，
又∵∠ABF=∠CDE，
∴△ABF≌△CDE（AAS）；
（2） 当四边形ABCD满足AB=AD时，四边形BEDF是菱形．理由如下：
连接BD交AC于点O，如图所示：
由（1）得：△ABF≌△CDE，
∴AB=CD，BF=DE，∠AFB=∠CED，
∴BF∥DE．
∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
∴BD⊥AC．
∵BF=DE，BF∥DE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴四边形BEDF是菱形．