如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=8，∠B=60°，BC=12，连接AC．（1）求tan∠ACB的值；（2）若M、N分别是AB、DC的中点，连接MN，求线段MN的长．

Question

Answer 1

（1）如图，作AE⊥BC于点E．
在Rt△ABE中，
BE=AB•cosB=8×cos60°=4，
AE=AB•sinB=8×sin60°=4√(3)，
∴CE=BC-BE=12-4=8．
在Rt△ACE中，
tan∠ACB=(AE)/(EC)＝(4√(3))/(8)＝(√(3))/(2)．
（2）作DF⊥BC于F，则四边形AEFD是矩形．
∴AD=EF，DF=AE．
∵AB=DC，∠AEB=∠DFC=90°，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL）
∴CF=BE=4，
EF=BC-BE-CF=12-4-4=4，
∴AD=4．
又∵M、N分别是AB、DC的中点，
∴MN是梯形ABCD的中位线，
∴MN=(1)/(2)（AD+BC）=(1)/(2)（4+12）=8． √(3)

3

33，
∴CE=BC-BE=12-4=8．
在Rt△ACE中，
tan∠ACB=(AE)/(EC)＝(4√(3))/(8)＝(√(3))/(2)．
（2）作DF⊥BC于F，则四边形AEFD是矩形．
∴AD=EF，DF=AE．
∵AB=DC，∠AEB=∠DFC=90°，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL）
∴CF=BE=4，
EF=BC-BE-CF=12-4-4=4，
∴AD=4．
又∵M、N分别是AB、DC的中点，
∴MN是梯形ABCD的中位线，
∴MN=(1)/(2)（AD+BC）=(1)/(2)（4+12）=8． (AE)/(EC)AEAEAEECECEC＝(4√(3))/(8)4√(3)4√(3)4√(3)

3

33888＝(√(3))/(2)√(3)√(3)√(3)

3

33222．
（2）作DF⊥BC于F，则四边形AEFD是矩形．
∴AD=EF，DF=AE．
∵AB=DC，∠AEB=∠DFC=90°，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL）
∴CF=BE=4，
EF=BC-BE-CF=12-4-4=4，
∴AD=4．
又∵M、N分别是AB、DC的中点，
∴MN是梯形ABCD的中位线，
∴MN=(1)/(2)（AD+BC）=(1)/(2)（4+12）=8． (1)/(2)111222（AD+BC）=(1)/(2)（4+12）=8． (1)/(2)111222（4+12）=8．