2013年12月14日嫦娥三号成功实现了月球表面软着陆．嫦娥三号着陆前，先在距月球表面高度为h的圆轨道上运行，经过变轨进入远月点高度为h、近月点高度忽略不计的椭圆轨道上运行，为下一

Question

2013年12月14日嫦娥三号成功实现了月球表面软着陆．嫦娥三号着陆前，先在距月球表面高度为h的圆轨道上运行，经过变轨进入远月点高度为h、近月点高度忽略不计的椭圆轨道上运行，为下一步月面软着陆做准备．（已知月球半径为R，月球质量为M，万有引力常量G）

（1）求嫦娥三号在距月球表面高度为h的圆轨道上运行的周期T₁；
（2）应用开普勒第三定律，求嫦娥三号在椭圆轨道上运行的周期T₂．

Answer 1

（1）根据G(Mm)/((R+h)2)=m(R+h)(4π2)/(T12)得嫦娥三号在圆轨道上运行的周期为：T₁=√((4π2(R+h)3)/(GM))．
（2）椭圆轨道的半长轴为：a=(h+2R)/(2)，
根据开普勒第三定律得：(a3)/(T22)=((R+h)3)/(T12)，
解得：T₂=((h+2R)T1)/(2(R+h))√((h+2R)/(2(R+h)))．
答：（1）嫦娥三号在距月球表面高度为h的圆轨道上运行的周期为√((4π2(R+h)3)/(GM))．
（2）嫦娥三号在椭圆轨道上运行的周期为((h+2R)T1)/(2(R+h))√((h+2R)/(2(R+h)))．