若a=(2+3^1/2)^-1,b=(2-3^1/2)^-1,则(a+1)^-2+(b+1)^-2=2/3好像！

Question

若a=(2+3^1/2)^-1,b=(2-3^1/2)^-1,则(a+1)^-2+(b+1)^-2=
2/3好像！

Answer 1

先化简
a的分子分母同时乘以(2-√3)
得
a=2-√3
同理
b的分子分母同时乘以(2+√3)
得
b=2+√3
由此可以看出a*b=1
所以
令S=(a+1)^-2+(b+1)^-2
则
S=(a+1)^-2+(b+1)^-2
=[(a+1)^-1+(b+1)^-1]^2-2[(a+1)^-1+(b+1)^-1]
而(a+1)^-1=(3-√3)^-1=(3+√3)/6...(同样处理,分子分母同时乘以(3+√3))
(b+1)^-1=(3+√3)^-1=(3-√3)/6
所以
S=[(3+√3)/6+(3-√3)/6]^2-2[(3+√3)/6]*[(3-√3)/6]
=1-2*6/36
=1-2/3
=2/3
像这样分母不是有理数的分数,一般运算的时候都要将分母"有理化",就是说将分母转化成有理数,并且使分数的数值不改变.那么就需要在分子和分母上同时乘上一个数.而这样的转化通常都是利用"平方差公式"来实现的.
比如(2+√3)要用到平方差就得乘上(2-√3)'这样
(2+√3)(2-√3)=2^2-(√3)^2=4-3=1就成有理数了..
还有
(3-2√2)乘以(3+2√2)'
即
(3-2√2)(3+2√2)=9-8=1 为有理数.
那么对于本题中的a=(2+3^1/2)^-1
其分母就是无理数.想(1)将分母化成有理数(2)保持a的数值不变.
那么就将a的分子,分母同时乘以(2-√3)'
这样a的分母变成(2+√3)(2-√3)=2^2-(√3)^2=4-3=1
而分子变成1*(2-√3)=(2-√3)
那么a就转化成了a=(2-√3)/1=(2-√3)
并且达到了先前的目的(1),(2).
同样b也进行如上操作转化成了b=(2-√3)^-1=2+√3.
(上面提到的带" ' "的式子( )'有人也将他与原式互称做"对偶式"...
如(2-√3)和(2+√3)就可以互为对偶式.)