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1,2,3,5,8,13,21,34……的通项公式是什么?

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1,2,3,5,8,13,21,34……的通项公式是什么?
▼优质解答
答案和解析
这类似于斐波那契数列  【斐波那契数列通项公式的推导】 斐波那契数列:1、1、2、3、5、8、13、21、……
  如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+).那么这句话可以写成如下形式:
  F(0) = 0,F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)
  显然这是一个线性递推数列.
  通项公式的推导方法一:利用特征方程
  线性递推数列的特征方程为:
  X^2=X+1
  解得
  X1=(1+√5)/2,X2=(1-√5)/2
  则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n
  ∵F(1)=F(2)=1
  ∴C1*X1 + C2*X2
  C1*X1^2 + C2*X2^2
  解得C1=1/√5,C2=-1/√5
  ∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}(√5表示根号5)
  通项公式的推导方法二:普通方法
  设常数r,s
  使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
  则r+s=1,-rs=1
  n≥3时,有
  F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
  F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]
  F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]
  ……
  F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]
  将以上n-2个式子相乘,得:
  F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]
  ∵s=1-r,F(1)=F(2)=1
  上式可化简得:
  F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
  那么:
  F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
  = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)
  = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)
  ……
  = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1)
  = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)
  (这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公比的等比数列的各项的和)
  =[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)
  =(s^n - r^n)/(s-r)
  r+s=1,-rs=1的一解为 s=(1+√5)/2,r=(1-√5)/2
  则F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}
  迭代法
  已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3),求数列{an}的通项公式
  解 :设an-αa(n-1)=β(a(n-1)-αa(n-2))
  得α+β=1
  αβ=-1
  构造方程x²-x-1=0,解得α=(1-√5)/2,β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2,β=(1-√5)/2
  所以
  an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√5)/2*a(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)`````````1
  an-(1+√5)/2*a(n-1)=(1-√5)/2*(a(n-1)-(1+√5)/2*a(n-2))=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)`````````2
  由式1,式2,可得
  an=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)``````````````3
  an=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)``````````````4
  将式3*(1+√5)/2-式4*(1-√5)/2,化简得an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}
  `````