10阶和15阶群分别有哪些?分别给出他们的西罗2子群、西罗5子群和西罗3子群、西罗5子群,每个群都要

Question

10阶和15阶群分别有哪些?
分别给出他们的西罗2子群、西罗5子群和西罗3子群、西罗5子群,每个群都要

Answer 1

15阶的只有一个.它有唯一的Sylow-5和Sylow-3子群,所以两个都正规,推出它必须是Z/15Z.
10阶的有两个：Z/10Z和那个二面体群（叫D5还是D10来着）.Sylow-5子群也只有1个.Sylow-2子群可以有1个或者5个（个数是5的约数,并且模2余1）,如果只有一个的话,同上,推出它就是Z/10Z.
如果有5个Sylow-2子群,如果其中有一个正规,那么同样直接推出整个群就是Z/10Z,从而矛盾（这是只有一个Sylow-2子群）；于是这5个Sylow-2子群都不正规.
这样随便选一个Sylow-2子群H,它和这个Sylow-5子群K生成整个的群G,而且H和K不交换,否则G就是Z/10Z了.现在H通过共轭作用,作用在K上（也就是说,对于任何h在H中,h把K中的元素k映成hkh^(-1),这里的乘法是G中的）.
写出来的话,H={e,h},K={e,k,k^2,k^3,k^4},其中e是G里的单位元.那么要问,j=hkh^(-1)是什么?首先,j一定也是个5阶元,因为它和k共轭.那么它必须是k的一个几次方才行,因为K是唯一的Sylow-5子群（如果还有其它的5阶元的话,会生成别的Sylow-5子群）.那么j=hkh^(-1)是k的几次方?如果j就是k本身,那么H就和K交换了,整个G就是Z/10Z.另外注意,h^2=e,因为H是2阶子群.假如j=hkh^(-1)=k^2,那么hjh^(-1)=k^4,但是hjh^(-1) = (h^2) k h^(-2) = e k e^(-1) = k,而k^4不是k,这不可能；同样j不能是k^3,但可能是k^4.如果hkh^(-1)=k^4,那么k就是二面体群里那个旋转,h就是一个反射,整个G就是那个二面体群了.