设连续型随机变量X1，X2相互独立，且方差均存在，X1，X2的概率密度分别为f1（x），f2（x），随机变量Y1的概率密度为fY1(y)＝12(f1(y)+f2(y))，随机变量Y2＝12(X1+X2)，则（）A．EY1＞EY2，DY1＞DY2

Question

设连续型随机变量X₁，X₂相互独立，且方差均存在，X₁，X₂的概率密度分别为f₁（x），f₂（x），随机变量Y₁的概率密度为fY1(y)＝(1)/(2)(f1(y)+f2(y))，随机变量Y2＝(1)/(2)(X1+X2)，则（　　）

A．EY₁＞EY₂，DY₁＞DY₂
B．EY₁=EY₂，DY₁=DY₂
C．EY₁=EY₂，DY₁＜DY₂
D．EY₁=EY₂，DY₁＞DY₂

Answer 1

因为：fY1(y)＝(1)/(2)(f1(y)+f2(y))，且EX1＝

∫

+∞ −∞

xf1(x)dx，EX2＝

∫

+∞ −∞

xf2(x)dx，
所以：
EY1＝(1)/(2)

∫

+∞ −∞

y(f1(y)+f2(y))dy＝(1)/(2)(EX1+EX2)＝E(Y2)，
E

Y

2 1

＝(1)/(2)

∫

+∞ −∞

y2(f1(y)+f2(y))dy＝(1)/(2)E

X

2 1

+(1)/(2)E

X

2 2

，
于是：

DY1＝E(

Y

2 1

)−E2(Y1)＝(1)/(2)E

X

2 1

+(1)/(2)E

X

2 2

−(1)/(4)E2(X1)−(1)/(4)E2(X2)−(1)/(2)E(X1)E(X2)

＝(1)/(4)D(X1)+(1)/(4)D(X2)+(1)/(4)E(X1−X2)2≥(1)/(4)D(X1)+(1)/(4)D(X2)＝DY2

设Y=X₁-X₂的概率密度为f（y），则：
E(X1−X2)2＝

∫

+∞ −∞

y2f(y)dy，其中y²f（y）≥0且y²f（y）不恒为0，
由定积分的性质，知：E(X1−X2)2＞0，
从而：DY₁＞DY₂，
故选：D．