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已知:Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,将Rt△ABC绕点B顺时针方向旋转α角(0°≤α≤120°),得到Rt△A′BC′,直线CC′和AA′相交于点D.(1)如图①,当点C′在AB边上时,判断线段AD和A′D之
题目详情
已知:Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,将Rt△ABC绕点B顺时针方向旋转α角(0°≤α≤120°),得到Rt△A′BC′,直线CC′和AA′相交于点D.
(1)如图①,当点C′在AB边上时,判断线段AD和A′D之间的数量关系,并证明你的结论;
(2)将Rt△A′BC′由图①的位置旋转到图②的位置时,(1)中的结论是否成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由;
(3)将Rt△A′BC′由图①的位置按顺时针方向旋转,当A、C′、A′三点在一条直线上时,请画出示意图,并写出旋转角的度数.
![作业帮](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d043ad4bd11373f05c7d5098a20f4bfbfbed0472.jpg)
(1)如图①,当点C′在AB边上时,判断线段AD和A′D之间的数量关系,并证明你的结论;
(2)将Rt△A′BC′由图①的位置旋转到图②的位置时,(1)中的结论是否成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由;
(3)将Rt△A′BC′由图①的位置按顺时针方向旋转,当A、C′、A′三点在一条直线上时,请画出示意图,并写出旋转角的度数.
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▼优质解答
答案和解析
(1)AD=A′D.
证明:如图1,
∵Rt△A′BC′≌Rt△ABC,
∴BC=BC′,BA=BA′,
∵∠A′BC′=∠ABC=60°,
∴△BCC′和△BAA′都是等边三角形,
∴∠BAA′=∠BC′C=60°,
∵∠A′C′B=90°,
∴∠DC′A′=30°,
∵∠AC′D=∠BC′C=60°,
∴∠ADC′=60°,
∴∠DA′C′=30°,
∴∠DAC′=∠DC′A,∠DC′A′=∠DA′C′,
∴AD=DC′,DC′=DA′,
∴AD=A′D;
(2)仍然成立:AD=A′D,
证法一:利用相似.
如图2-1:
由旋转可得,BA=BA′,BC=BC′,∠CBC′=∠ABA′,
∵∠1=
(180°-∠ABA′),∠3=
(180°-∠CBC′),
∴∠1=∠3,
设AB、CD交于点O,则∠AOD=∠BOC,
∴△BOC∽△DOA,
∴∠2=∠4,
=
,
连接BD,
∵∠BOD=∠COA,
∴△BOD∽△COA,
∴∠5=∠6,
∵∠ACB=90°,
∴∠2+∠5=90°,
∴∠4+∠6=90°,即∠ADB=90°,
∵BA=BA′,∠ADB=90°,
∴AD=A′D,
证法二:利用全等.如图2-2:![作业帮](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b90e7bec54e736d166028ab49e504fc2d562697c.jpg)
过点A作AE∥A′C′,交CD的延长线于点E,则∠1=∠2,∠E=∠3,
由旋转可得,AC=A′C′,BC=BC′,
∴∠4=∠5,
∵∠ACB=∠A′C′B=90°,
∴∠5+∠6=∠3+∠4=90°,
∴∠3=∠6,
∴∠E=∠6,∴AE=AC=A′C′,
在△ADE与△A′DC′中,
,
∴△ADE≌△A′DC′(ASA),
∴AD=A′D;
(3)当A、C′、A′三点在一条直线上时,如图3,![作业帮](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/500fd9f9d72a6059ba717aab2b34349b033bba1a.jpg)
则有∠AC′B=180°-∠A′C′B=90°,
在Rt△ACB和Rt△AC′B中,
,
∴Rt△ACB≌Rt△AC′B (HL),
∴∠ABC=∠ABC′=60°,
∴当A、C′、A′三点在一条直线上时,旋转角α的度数为60°.
证明:如图1,
∵Rt△A′BC′≌Rt△ABC,
∴BC=BC′,BA=BA′,
∵∠A′BC′=∠ABC=60°,
∴△BCC′和△BAA′都是等边三角形,
∴∠BAA′=∠BC′C=60°,
∵∠A′C′B=90°,
∴∠DC′A′=30°,
∵∠AC′D=∠BC′C=60°,
∴∠ADC′=60°,
∴∠DA′C′=30°,
∴∠DAC′=∠DC′A,∠DC′A′=∠DA′C′,
∴AD=DC′,DC′=DA′,
∴AD=A′D;
(2)仍然成立:AD=A′D,
证法一:利用相似.
![作业帮](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d000baa1cd11728bc9368a9ecdfcc3cec3fd2c76.jpg)
由旋转可得,BA=BA′,BC=BC′,∠CBC′=∠ABA′,
∵∠1=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴∠1=∠3,
设AB、CD交于点O,则∠AOD=∠BOC,
∴△BOC∽△DOA,
∴∠2=∠4,
OB |
OD |
OC |
OA |
连接BD,
∵∠BOD=∠COA,
∴△BOD∽△COA,
∴∠5=∠6,
∵∠ACB=90°,
∴∠2+∠5=90°,
∴∠4+∠6=90°,即∠ADB=90°,
∵BA=BA′,∠ADB=90°,
∴AD=A′D,
证法二:利用全等.如图2-2:
![作业帮](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b90e7bec54e736d166028ab49e504fc2d562697c.jpg)
过点A作AE∥A′C′,交CD的延长线于点E,则∠1=∠2,∠E=∠3,
由旋转可得,AC=A′C′,BC=BC′,
∴∠4=∠5,
∵∠ACB=∠A′C′B=90°,
∴∠5+∠6=∠3+∠4=90°,
∴∠3=∠6,
∴∠E=∠6,∴AE=AC=A′C′,
在△ADE与△A′DC′中,
|
∴△ADE≌△A′DC′(ASA),
∴AD=A′D;
(3)当A、C′、A′三点在一条直线上时,如图3,
![作业帮](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/500fd9f9d72a6059ba717aab2b34349b033bba1a.jpg)
则有∠AC′B=180°-∠A′C′B=90°,
在Rt△ACB和Rt△AC′B中,
|
∴Rt△ACB≌Rt△AC′B (HL),
∴∠ABC=∠ABC′=60°,
∴当A、C′、A′三点在一条直线上时,旋转角α的度数为60°.
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