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(2014•黄冈样卷)某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的300天内,西红柿的市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系

题目详情
(2014•黄冈样卷)某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的300天内,西红柿的市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示.

(1)写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P;写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q;
(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大?
▼优质解答
答案和解析
(1)由图-可得市场售价与时间的函数关系为
P=
300−t,0≤t≤200
2t−300,200<t≤300

由图二可得种植成本与时间的函数关系为
Q=
1
200
(t-150)2+100,0≤t≤300

(2)设t时刻的纯收益为h,则由题意得h=P-Q,即
h=
1
200
t2+
1
2
t+
175
2
;0≤t≤200
1
200
t2+
7
2
t−
1025
2
;200<t≤300

当0≤t≤200时,配方整理得
h=
1
200
(t-50)2+100
所以,当t=50时,h(t)取得区间[0,200]上的最大值100
当200<t≤300时,配方整理得
h=
1
200
(t-350)2+100
所以,当t=300时,h取得区间[200,300]上的最大值87.5
综上,由100>87.5可知,h在区间[0,300]上可以取得最大值100,此时t=50,即从二月一日开始的第50天时,上市的西红柿纯收益最大.
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