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在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,点D在BC边上,△ABD和△AFD关于直线AD对称,∠FAC的平分线交BC于点G,连接FG.(1)求∠DFG的度数;(2)设∠BAD=θ,①当θ为何值时,△DFG为等腰三角形;②△DFG有
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(1)求∠DFG的度数;
(2)设∠BAD=θ,
①当θ为何值时,△DFG为等腰三角形;
②△DFG有可能是直角三角形吗?若有,请求出相应的θ值;若没有,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵AB=AC,∠BAC=100°,
∴∠B=∠C=40°.
∵△ABD和△AFD关于直线AD对称,
∴△ADB≌△ADF,
∴∠B=∠AFD=40°,AB=AF∠BAD=∠FAD=θ,
∴AF=AC.
∵AG平分∠FAC,
∴∠FAG=∠CAG.
在△AGF和△AGC中,
,
∴△AGF≌△AGC(SAS),
∴∠AFG=∠C.
∵∠DFG=∠AFD+∠AFG,
∴∠DFG=∠B+∠C=40°+40°=80°.
答:∠DFG的度数为80°;
(2)①当GD=GF时,
∴∠GDF=∠GFD=80°.
∵∠ADG=40°+θ,
∴40°+80°+40°+θ+θ=180°,
∴θ=10°.
当DF=GF时,
∴∠FDG=∠FGD.
∵∠DFG=80°,
∴∠FDG=∠FGD=50°.
∴40°+50°+40°+2θ=180°,
∴θ=25°.
当DF=DG时,
∴∠DFG=∠DGF=80°,
∴∠GDF=20°,
∴40°+20°+40°+2θ=180°,
∴θ=40°.
∴当θ=10°,25°或40°时,△DFG为等腰三角形;
②当∠GDF=90°时,
∵∠DFG=80°,
∴40°+90°+40°+2θ=180°,
∴θ=5°.
当∠DGF=90°时,
∵∠DFG=80°,
∴∠GDF=10°,
∴40°+10°+40°+2θ=180°,
∴θ=45°
∴当θ=5°或45°时,△DFG为直角三角形.
∴∠B=∠C=40°.
∵△ABD和△AFD关于直线AD对称,
∴△ADB≌△ADF,
∴∠B=∠AFD=40°,AB=AF∠BAD=∠FAD=θ,
∴AF=AC.
∵AG平分∠FAC,
∴∠FAG=∠CAG.
在△AGF和△AGC中,
|
∴△AGF≌△AGC(SAS),
∴∠AFG=∠C.
∵∠DFG=∠AFD+∠AFG,
∴∠DFG=∠B+∠C=40°+40°=80°.
答:∠DFG的度数为80°;
(2)①当GD=GF时,
∴∠GDF=∠GFD=80°.
∵∠ADG=40°+θ,
∴40°+80°+40°+θ+θ=180°,
∴θ=10°.
当DF=GF时,
∴∠FDG=∠FGD.
∵∠DFG=80°,
∴∠FDG=∠FGD=50°.
∴40°+50°+40°+2θ=180°,
∴θ=25°.
当DF=DG时,
∴∠DFG=∠DGF=80°,
∴∠GDF=20°,
∴40°+20°+40°+2θ=180°,
∴θ=40°.
∴当θ=10°,25°或40°时,△DFG为等腰三角形;
②当∠GDF=90°时,
∵∠DFG=80°,
∴40°+90°+40°+2θ=180°,
∴θ=5°.
当∠DGF=90°时,
∵∠DFG=80°,
∴∠GDF=10°,
∴40°+10°+40°+2θ=180°,
∴θ=45°
∴当θ=5°或45°时,△DFG为直角三角形.
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