如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上的一点，∠BAE=∠CBD=∠DAC．（1）求证：DE•AB=BC•AE；（2）求证：∠AED+∠ADC=180°．

Question

如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上的一点，∠BAE=∠CBD=∠DAC．

（1）求证：DE•AB=BC•AE；
（2）求证：∠AED+∠ADC=180°．

Answer 1

证明：（1）∵∠BAE=∠DAC，
∴∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC，
即∠BAC=∠EAD，
∵∠ABC=∠ABE+∠CBD，
∠AED=∠ABE+∠BAE，
∵∠CBD=∠BAE，
∴∠ABC=∠AED，
∴△ABC∽△AED，
∴(AB)/(AE)=(BC)/(DE)，
∴DE•AB=BC•AE；

（2）∵△ABC∽△AED，
∴(AB)/(AE)=(AC)/(AD)，即(AB)/(AC)=(AE)/(AD)，
∵∠BAE=∠DAC
∴△ABE∽△ACD，
∴∠AEB=∠ADC，
∵∠AED+∠AEB=180°，
∴∠AED+∠ADC=180°．