一个有关微分几何测地线的问题给定双曲面x^2+y^2-z^2=1,及曲面上任意两点,求它们的曲面最短路的距离貌似要用到微分几何的一些知识,

Question

一个有关微分几何测地线的问题
给定双曲面x^2+y^2-z^2=1,及曲面上任意两点,求它们的曲面最短路的距离
貌似要用到微分几何的一些知识,

Answer 1

如果旋转面的参数方程是
r(u,v) = (u*cos(v), u*sin(v), f(u))
则其测地线公式是(一般微分几何书上都有)
v(u) = v0 + \\int_{u0}^{u} c * \\sqrt(1+[f'(w)]^2) / [w * \\sqrt(w^2-c^2)] dw
其中 (u0, v0)是出发点位置, \\int_{u0}^{u}表示从u0到u的积分,
\\sqrt是开根号, f'(w)表示 f 的导数, c是一个常数,由
v(u1) = v1 决定
由Liouville公式,还可以推出
dv/ds = c/u^2
其中 s 是测地线弧长参数.这样
ds/dv = u^2/c
ds = (u^2/c)dv = (u^2/c) dv/du *du
= (u^2/c) * c * \\sqrt(1+[f'(u)]^2) / [u * \\sqrt(u^2-c^2)] du
= u * \\sqrt(1+[f'(u)]^2) / \\sqrt(u^2-c^2) du

所以弧长等于 \\int_{u0}^{u1} ds
= \\int_{u0}^{u1} u * \\sqrt(1+[f'(u)]^2) / \\sqrt(u^2-c^2) du

对于 x^2+y^2-z^2=1, 令f(u) = 正负\\sqrt(u^2-1) 即可.这样:

x = u*cos(v), y = u*sin(v), z = 正负 \\sqrt(u^2-1)

x^2+y^2-z^2 = u^2-(u^2-1) = 1

上面的积分不一定能够有积出来的表达式, 实际计算的时候, 可以数值计算.
以u0=1, v0=0, u1=2, v1=0为例, 这对应着空间两点:
p1 = ( 1, 0, 0 ), p2 = ( 2, 0, \\sqrt(3) )
显然最短路径就是沿着母线走, 通过这两点的母线方程是
x^2-z^2=1, 也就是 z = \\sqrt(x^2-1) (这里只取上半部分)
由求曲线弧长的微积分公式, 最短路径长度是

\\int_{1}^{2} \\sqrt(1+[dz/dx]^2) dx
= \\int_{1}^{2} \\sqrt[(2x^2-1)/(x^2-1)] dx
这个积分没有封闭表达式结果,只能数值计算.