如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，点D为三角形内一点，且∠ACD=∠DAB=∠DBC．（1）求∠CDB的度数；（2）求证：△DCA∽△DAB；（3）若CD的长为1，求AB的长．

Question

如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，点D为三角形内一点，且∠ACD=∠DAB=∠DBC．

（1）求∠CDB的度数；
（2）求证：△DCA∽△DAB；
（3）若CD的长为1，求AB的长．

Answer 1

（1） ∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°．
又∵∠ACD=∠DAB，
∴∠ACD+∠CAD=∠DAB+∠CAD=∠CAB=45°，
∴∠CDA=135°
同理可得∠ADB=135°
∴∠CDB=360°-∠CDA-∠ADB=360°-135°-135°=90°．

（2）证明：∵∠CDA=∠ADB，∠ACD=∠DAB，
∴△DCA∽△DAB        

（3） ∵△DCA∽△DAB，
∴(DC)/(DA)=(DA)/(DB)=(AC)/(BA)=(1)/(√(2))，
又∵CD=1，
∴AD=√(2)，DB=2．
又∵∠CDB=90°，
∴BC=√(CD2+BD2)=√(12+22)=√(5)，
在Rt△ABC中，∵AC=BC=√(5)，
∴AB=√(AC2+BC2)=√(10)．