x^(2+lgx)=1000为什么要先把它写成常用对数?目的是什么呢?为什么可以这么做为什么不写成这样就解不出呢?

Question

x^(2+lgx)=1000
为什么要先把它写成常用对数?
目的是什么呢?
为什么可以这么做
为什么不写成这样就解不出呢?

Answer 1

因为题中已有lgx,取常用对数得到的仍然是lgx,即相当于解关于lgx的方程.
如取自然对数(或其他任何对数):
(2 + lgx)lnx = ln1000 = 3ln10 (1)
这样无法解, 相当于两个未知数lgx, lnx,必须变为一个:
两边同除以ln10,得: (2 + lgx)(lnx)/ln10 = 3, 即(2 + lgx)lgx = 3
解关于lgx的方程, lgx = -3 (x = 1/1000)或lgx = 1 (x = 10)
(1)当然可以这样变:
[2 + (lnx)/ln10]lnx = 3ln10
两边同乘以ln10:
ln²x + 2(ln10)lnx - 3ln²10 = 0
(lnx + 3ln10)(lnx - ln10) = 0
lnx = -3ln10, x = 1/1000
或lnx = ln10, x =10