矩阵1a1aba1a1与矩阵2000b0000相似的充分必要条件是（）A．a=0，b=2B．a=0，b为任意常数C．a=2，b=0D．a=2，b为任意常数

Question

矩阵

1	a	1
a	b	a
1	a	1

与矩阵

2	0	0
0	b	0
0	0	0

相似的充分必要条件是（　　）

A．a=0，b=2
B．a=0，b为任意常数
C．a=2，b=0
D．a=2，b为任意常数

Answer 1

注意到

2	0	0
0	b	0
0	0	0

 是对角矩阵，
所以矩阵A=

1	a	1
a	b	a
1	a	1

 与矩阵B=

2	0	0
0	b	0
0	0	0

 相似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等，
而A，B的特征多项式分别为：
|λE-A|=

.

λ−1	−a	−1
−a	λ−b	−a
−1	−a	λ−1

.

=-λ（λ²-（b+2）λ+2b-2a²），
|λE-B|=

.

λ−2	0	0
0	λ−b	0
0	0	λ

.

=λ（λ-2）（λ-b），
所以，由-λ（λ²-（b+2）λ+2b-2a²）=λ（λ-2）（λ-b） 可得：
2b-2a²=2b，即：a=0，b 为任意常数，
故选：B．