请问：如何证明weakunion（概率论）(X⊥Y,W|Z)⇒(X⊥Y|Z,W)

Question

请问：如何证明weak union（概率论）
( X ⊥ Y,W | Z ) ⇒ ( X⊥Y | Z,W )

Answer 1

P[X=x,Y=y|W=w,Z=z]
=P[X=x,Y=y,W=w,Z=z] / P[W=w,Z=z]
=P[X=x,Y=y,W=w|Z=z]*P[Z=z] / (P[W=w|Z=z]*P[Z=z])
=P[X=x|Z=z]*P[Y=y,W=w|Z=z] / P[W=w|Z=z] (因为 X ⊥ Y,W | Z)
=P[X=x|W=w,Z=z]*P[Y=y|W=w,Z=z]*P[W=w|Z=z] / P[W=w|Z=z]
(因为( X ⊥ Y,W | Z ) ⇒ ( X⊥W | Z) )
约掉分母,得到结果.
这只是个简单的证明,因为假设每个点的概率都大于零