艾萨克•牛顿（1643年1月4日-1727年3月31日）英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数f（x）零点时给出一个数列{xn}：满足xn+1=

Question

艾萨克•牛顿（1643年1月4日-1727年3月31日）英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数f（x）零点时给出一个数列{x_n}：满足xn+1=xn- (f(xn))/(f′(xn))，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数f（x）=ax²+bx+c（a>0）有两个零点1，2，数列{x_n}为牛顿数列，设an=ln (xn-2)/(xn-1)，已知a₁=2，x_n>2，则{a_n}的通项公式a_n=___．

Answer 1

∵函数f（x）=ax²+bx+c（a>0）有两个零点1，2，
∴

a+b+c=0

4a+2b+c=0

，解得：

c=2a

b=-3a

．
∴f（x）=ax²-3ax+2a．
则f′（x）=2ax-3a．
则xn+1=xn-(axn2-3axn+2a)/(2axn-3a)=xn-(xn2-3xn+2)/(2xn-3)=(xn2-2)/(2xn-3)，
∴(xn+1-2)/(xn+1-1)=((xn-2)/(xn-1))2，
则ln(xn-2)/(xn-1)是以2为公比的等比数列，
∵an=ln(xn-2)/(xn-1)，且a₁=2，
∴数列{a_n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，
则an=2•2n-1=2n，
故答案为：2ⁿ．