如图，在△ABC中，点D在BC边上，AD=33，sin∠BAD=513，cos∠ADC=35．（1）求sin∠ABD的值；（2）求BD的长．

Question

如图，在△ABC中，点D在BC边上，AD=33，sin∠BAD=(5)/(13)，cos∠ADC=(3)/(5)．

（1）求sin∠ABD的值；
（2）求BD的长．

Answer 1

（本小题满分12分）
（1）因为cos∠ADC=(3)/(5)，
所以sin∠ADC=√(1-cos2∠ADC)=(4)/(5)．…（2分）
因为sin∠BAD=(5)/(13)，
所以cos∠BAD=√(1-sin2∠BAD)=(12)/(13)．…（4分）
因为∠ABD=∠ADC-∠BAD，
所以sin∠ABD=sin（∠ADC-∠BAD）
=sin∠ADCcos∠BAD-cos∠ADCsin∠BAD …（6分）
=(4)/(5)×(12)/(13)-(3)/(5)×(5)/(13)=(33)/(65)．…（8分）
（2）在△ABD中，由正弦定理，得(BD)/(sin∠BAD)=(AD)/(sin∠ABD)，…（10分）
所以BD=(AD×sin∠BAD)/(sin∠ABD)=(33×(5)/(13))/((33)/(65))=25．…（12分）