正实数x，y满足x+2y+4=4xy，且不等式（x+2y）a2+2a+2xy-34≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Question

正实数x，y满足x+2y+4=4xy，且不等式（x+2y）a²+2a+2xy-34≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

∵正实数x，y满足x+2y+4=4xy，
即x+2y=4xy-4，
∴不等式（x+2y）a²+2a+2xy-34≥0恒成立，
即（4xy-4）a²+2a+2xy-34≥0恒成立，
变形得2xy（2a²+1）≥4a²-2a+34恒成立，
即xy≥(2a2-a+17)/(2a2+1)恒成立．
∵x>0，y>0，∴x+2y≥2√(2xy)，
∴4xy=x+2y+4 ≥4+2√(2xy)，
即2(√(xy))2-√(2)√(xy)-2≥0⇒√(xy)≥√(2)或√(xy)≤-(√(2))/(2)（舍去），
可得xy≥2，要使xy≥(2a2-a+17)/(2a2+1)恒成立，只需2≥(2a2-a+17)/(2a2+1)恒成立，
化简得2a2+a-15≥0⇒a≤-3或a≥(5)/(2)．
所以a的取值范围是(-∞，-3]∪[(5)/(2)，+∞)．