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数学老师布置了这样一道作业题:在△ABC中,AB=AC≠BC,点D和点A在直线BC的同侧,BD=BC,∠BAC=α,∠DBC=β,α+β=120°,连接AD,求∠ADB的度数.小聪提供了研究这个问题的过程和思路:先从
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数学老师布置了这样一道作业题:
在△ABC中,AB=AC≠BC,点D和点A在直线BC的同侧,BD=BC,∠BAC=α,∠DBC=β,α+β=120°,连接AD,求∠ADB的度数.
小聪提供了研究这个问题的过程和思路:先从特殊问题开始研究,当α=90°,β=30°时(如图1),利用轴对称知识,以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′,连接CD′(如图2),然后利用α=90°,β=30°以及等边三角形的相关知识便可解决这个问题.
![作业帮](http://img.zuoyebang.cc/zyb_ec4e4a22273caac80a0ecde1da35ee7d.jpg)
(1)请结合小聪研究问题的过程和思路,求出这种特殊情况下∠ADB的度数;
(2)结合小聪研究特殊问题的启发,请解决数学老师布置的这道作业题;
(3)解决完老师布置的这道作业题后,小聪进一步思考,当点D和点A在直线BC的异侧时,且∠ADB的度数与(1)中相同,则α,β满足的条件为___(直接写出结果).
在△ABC中,AB=AC≠BC,点D和点A在直线BC的同侧,BD=BC,∠BAC=α,∠DBC=β,α+β=120°,连接AD,求∠ADB的度数.
小聪提供了研究这个问题的过程和思路:先从特殊问题开始研究,当α=90°,β=30°时(如图1),利用轴对称知识,以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′,连接CD′(如图2),然后利用α=90°,β=30°以及等边三角形的相关知识便可解决这个问题.
![作业帮](http://img.zuoyebang.cc/zyb_ec4e4a22273caac80a0ecde1da35ee7d.jpg)
(1)请结合小聪研究问题的过程和思路,求出这种特殊情况下∠ADB的度数;
(2)结合小聪研究特殊问题的启发,请解决数学老师布置的这道作业题;
(3)解决完老师布置的这道作业题后,小聪进一步思考,当点D和点A在直线BC的异侧时,且∠ADB的度数与(1)中相同,则α,β满足的条件为___(直接写出结果).
▼优质解答
答案和解析
(1)如图1
![作业帮](http://img.zuoyebang.cc/zyb_63df2c53d67b048837f9c511d59821e3.jpg)
作∠AB D′=∠ABD,B D′=BD,连接CD′,AD′,
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠ABC=45°,
∵∠DBC=30°,
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=15°,
∵AB=AB,∠AB D′=∠ABD,B D′=BD,
∴△ABD≌△ABD′,
∴∠ABD=∠ABD′=15°,∠ADB=∠AD′B,
∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=60°,
∵BD=BD′,BD=BC,
∴BD′=BC,
∴△D′BC是等边三角形,
∴D′B=D′C,∠BD′C=60°,
∵AB=AC,AD'=AD',
∴△AD′B≌△AD′C,
∴∠AD′B=∠AD′C,
∴∠AD′B=
∠BD′C=30°,
∴∠ADB=30°,
(2) 第一种情况:当60°<α≤120°时,
![作业帮](http://img.zuoyebang.cc/zyb_1bc5c1ab538214a88884ebe4213b50df.jpg)
如图2,作∠AB D′=∠ABD,B D′=BD,连接CD′,AD′,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∵∠BAC=α,
∴∠ABC=
=90°-
,
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=90°-
-β,
同(1)可证△ABD≌△ABD′,
∴∠ABD=∠ABD′=90°-
-β,BD=BD′,∠ADB=∠AD′B
∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=90°-
-β+90°-
=180°-(α+β),
∵α+β=120°,
∴∠D′BC=60°,
以下同(1)可求得∠ADB=30°,
第二种情况:当0°<α<60°时,
如图3,
![作业帮](http://img.zuoyebang.cc/zyb_20154ce484233208c41b9c951e4c6a56.jpg)
作∠AB D′=∠ABD,B D′=BD,连接CD′,AD′.同理可得:∠ABC=
=90°-
,
∴∠ABD=∠DBC-∠ABC=β-(90°-
),
同(1)可证△ABD≌△ABD′,
∴∠ABD=∠ABD′=β-(90°-
),BD=BD′,∠ADB=∠AD′B,
∴∠D′BC=∠ABC-∠ABD′=90°-
-[β-(90°-
)]=180°-(α+β),
∴D′B=D′C,∠BD′C=60°.
同(1)可证△AD′B≌△AD′C,
∴∠AD′B=∠AD′C,
∵∠AD′B+∠AD′C+∠BD′C=360°,
∴∠ADB=∠AD′B=150°,
(3)点D和点A在直线BC的异侧时,分三种情况讨论:
第一种情况:如图4,
![作业帮](http://img.zuoyebang.cc/zyb_9e408032f83a338c6478f3927be916db.jpg)
当120°<α<180°,β=60°时,连接CD,
∵∠DBC=β=60°,BD=BC,
∴△DBC是等边三角形,
∴BD=CD,
∴△ABD≌△ACD,
∴∠ADB=∠ADC=30°,
第二种情况:如图5,
![作业帮](http://img.zuoyebang.cc/zyb_5d8e7db92f6ebf8da2d0c9bf71d8268f.jpg)
当120°<α<180°,0<β<60°时,连接CD′,
∠ABC=
=90°-
,
∠ABD=∠ABC+∠DBC=90°-
+β,
∵△ABD≌△ABD′,
∴∠ABD=∠ABD′=90°-
+β,
∵∠ADB=∠AD′B=30°,
∴∠BD′C=60°,
∵BD′=CD′,
∴△BD′C是等边三角形,
∴∠CBD′=(90°-
+β)+(90°-
)=60°,
∴α-β=120°,
第三种情况:如图6,
![作业帮](http://img.zuoyebang.cc/zyb_2d9784b52b14ed7d5eca0c3f9f8ca9f9.jpg)
当0°<α<120°,β=60°时,连接CD,
与图4同理得:∠ADB=∠ADC=30°,
故答案为:0°<α<120°,β=60°或120°<α<180°,0<β<60°时,α-β=120°或120°<α<180°,β=60°.
![作业帮](http://img.zuoyebang.cc/zyb_63df2c53d67b048837f9c511d59821e3.jpg)
作∠AB D′=∠ABD,B D′=BD,连接CD′,AD′,
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠ABC=45°,
∵∠DBC=30°,
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=15°,
∵AB=AB,∠AB D′=∠ABD,B D′=BD,
∴△ABD≌△ABD′,
∴∠ABD=∠ABD′=15°,∠ADB=∠AD′B,
∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=60°,
∵BD=BD′,BD=BC,
∴BD′=BC,
∴△D′BC是等边三角形,
∴D′B=D′C,∠BD′C=60°,
∵AB=AC,AD'=AD',
∴△AD′B≌△AD′C,
∴∠AD′B=∠AD′C,
∴∠AD′B=
1 |
2 |
∴∠ADB=30°,
(2) 第一种情况:当60°<α≤120°时,
![作业帮](http://img.zuoyebang.cc/zyb_1bc5c1ab538214a88884ebe4213b50df.jpg)
如图2,作∠AB D′=∠ABD,B D′=BD,连接CD′,AD′,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∵∠BAC=α,
∴∠ABC=
180°-α |
2 |
α |
2 |
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=90°-
α |
2 |
同(1)可证△ABD≌△ABD′,
∴∠ABD=∠ABD′=90°-
α |
2 |
∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=90°-
α |
2 |
α |
2 |
∵α+β=120°,
∴∠D′BC=60°,
以下同(1)可求得∠ADB=30°,
第二种情况:当0°<α<60°时,
如图3,
![作业帮](http://img.zuoyebang.cc/zyb_20154ce484233208c41b9c951e4c6a56.jpg)
作∠AB D′=∠ABD,B D′=BD,连接CD′,AD′.同理可得:∠ABC=
180°-α |
2 |
α |
2 |
∴∠ABD=∠DBC-∠ABC=β-(90°-
α |
2 |
同(1)可证△ABD≌△ABD′,
∴∠ABD=∠ABD′=β-(90°-
α |
2 |
∴∠D′BC=∠ABC-∠ABD′=90°-
α |
2 |
α |
2 |
∴D′B=D′C,∠BD′C=60°.
同(1)可证△AD′B≌△AD′C,
∴∠AD′B=∠AD′C,
∵∠AD′B+∠AD′C+∠BD′C=360°,
∴∠ADB=∠AD′B=150°,
(3)点D和点A在直线BC的异侧时,分三种情况讨论:
第一种情况:如图4,
![作业帮](http://img.zuoyebang.cc/zyb_9e408032f83a338c6478f3927be916db.jpg)
当120°<α<180°,β=60°时,连接CD,
∵∠DBC=β=60°,BD=BC,
∴△DBC是等边三角形,
∴BD=CD,
∴△ABD≌△ACD,
∴∠ADB=∠ADC=30°,
第二种情况:如图5,
![作业帮](http://img.zuoyebang.cc/zyb_5d8e7db92f6ebf8da2d0c9bf71d8268f.jpg)
当120°<α<180°,0<β<60°时,连接CD′,
∠ABC=
180°-α |
2 |
α |
2 |
∠ABD=∠ABC+∠DBC=90°-
α |
2 |
∵△ABD≌△ABD′,
∴∠ABD=∠ABD′=90°-
α |
2 |
∵∠ADB=∠AD′B=30°,
∴∠BD′C=60°,
∵BD′=CD′,
∴△BD′C是等边三角形,
∴∠CBD′=(90°-
α |
2 |
α |
2 |
∴α-β=120°,
第三种情况:如图6,
![作业帮](http://img.zuoyebang.cc/zyb_2d9784b52b14ed7d5eca0c3f9f8ca9f9.jpg)
当0°<α<120°,β=60°时,连接CD,
与图4同理得:∠ADB=∠ADC=30°,
故答案为:0°<α<120°,β=60°或120°<α<180°,0<β<60°时,α-β=120°或120°<α<180°,β=60°.
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