因式分解x^4-10x^3+35x^2-50x+24和x^4-2x^3-27x^2-44x+7

Question

因式分解 x^4-10x^3+35x^2-50x+24 和 x^4-2x^3-27x^2-44x+7

Answer 1

用“赋值法”分解因式
分析 让多项式中的字母取一具体的值（一般取10,这样便于计算）,算出结果.而多项式分解后当字母取这个相同的值时,也应该等于这
个结果,在不结果分解因数,就能找到多项式的因式了.
（1） 取x=10,代入原多项式得原式=3024,把3024适当的分解因数
得3024=6*7*8*9=(10-4)(10-3)(10-2)(10-1).
把上式中的10用X回代,得到原题的答案是
x^4-10x^3+35x^2-50x+24=(x-4)(x-3)(x-2)(x-1),经检验知答案是正确的.
说明 赋值法分解因式的一般步骤是：
1.赋多项式中的字母一个具体的值（一般是10）
2.算出赋值后多项式的结果；
3.把上步算得的结果适当的分解因数,注意各个括号中的最后一项
（也就是分解结果中各个括号了的常数项）之积一定要等与原多项式中的
常数项；
4.不上一步分解因数结果中的“赋值”回代为字母,经检验后得出问题的答案.
x^4-2x^3-27x^2-44x+7
用待定系数法
设原式=(x?+ax+1)(x?+bx+7)或=(x?+ax-1)(x?+bx-7)
[因为首项可分解为x?=x?*x?末项可分解为7=1*7或(-1)*(-7)]
然后再把括号打开再合并同类项可以得到：
+(a+b)x?+(ab+8)x?+(7a+b)x+7=x?-2x?-27x?-44x+7
或x?+(a+b)x?+(ab-8)x?-(7a+b)x+7=x?-2x?-27x?-44x+7
比较等式两边系数可得
a+b=-2
ab+8=-27
7a+b=-44
或a+b=-2
ab-8=-27
-7a-b=-44
解这两个方程组可得:
a=-7 b=5 [第二个方程组是无解的]
所以原式=(x?-7x+1)(x?+5x+7)