如图：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠PCQ=45°，把∠PCQ绕点C旋转，在整个旋转过程中，过点A作AD⊥CP，垂足为D，直线AD交CQ于E．（1）如图①，当∠PCQ在∠ACB内部时，求证：AD+BE=DE；（2）如图②

Question

如图：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠PCQ=45°，把∠PCQ绕点C旋转，在整个旋转过程中，过点A作AD⊥CP，垂足为D，直线AD交CQ于E．

（1）如图①，当∠PCQ在∠ACB内部时，求证：AD+BE=DE；
（2）如图②，当CQ在∠ACB外部时，则线段AD、BE与DE的关系为______；
（3）在（1）的条件下，若CD=6，S_△BCE=2S_△ACD，求AE的长．

Answer 1

（1）证明：如图①，延长DA到F，使DF=DE，
∵CD⊥AE，
∴CE=CF，
∴∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，
∴∠ACD+∠ACF=∠DCF=45°，
又∵∠ACB=90°，∠PCQ=45°，
∴∠ACD+∠BCE=90°-45°=45°，
∴∠ACF=∠BCE，
∵在△ACF和△BCE中，

CE＝CF

∠ACF＝∠BCE

AC＝BC

，
∴△ACF≌△BCE（SAS），
∴AF=BE，
∴AD+BE=AD+AF=DF=DE，
即AD+BE=DE；
（2）如图②，在AD上截取DF=DE，
∵CD⊥AE，
∴CE=CF，
∴∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，
∴∠ECF=∠DCE+∠DCF=90°，
∴∠BCE+∠BCF=∠ECF=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠ACF+∠BCF=90°，
∴∠ACF=∠BCE，
∵在△ACF和△BCE中，

CE＝CF

∠ACF＝∠BCE

AC＝BC

，
∴△ACF≌△BCE（SAS），
∴AF=BE，
∴AD=AF+DF=BE+DE，
即AD=BE+DE；
故答案为：AD=BE+DE．
（3）∵∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，
∴∠ECF=45°+45°=90°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴CD=DF=DE=6，
∵S_△BCE=2S_△ACD，
∴AF=2AD，
∴AD=(1)/(1+2)×6=2，
∴AE=AD+DE=2+6=8．