如图，∠ABC=45°，△ADE是等腰直角三角形，AE=AD，顶点A、D分别在∠ABC的两边BA、BC上滑动（不与点B重合），△ADE的外接圆交BC于点F，点D在点F的右侧，O为圆心．（1）求证：△ABD≌△AFE（2）

Question

如图，∠ABC=45°，△ADE是等腰直角三角形，AE=AD，顶点A、D分别在∠ABC的两边BA、BC上滑动（不与点B重合），△ADE的外接圆交BC于点F，点D在点F的右侧，O为圆心．

（1）求证：△ABD≌△AFE
（2）若AB=4√(2)，8√(2)<BE≤4√(13)，求 O的面积S的取值范围．

Answer 1

（1）∵△ADE是等腰直角三角形，AE=AD，
∴∠EAD=90°，∠AED=∠ADE=45°，
∵

AE

=

AE

，
∴∠ADE=∠AFE=45°，
∵∠ABD=45°，
∴∠ABD=∠AFE，
∵

AF

=

AF

，
∴∠AEF=∠ADB，
∵AF=AF，
∴△ABD≌△AFE；
（2）∵△ABD≌△AFE，
∴BD=EF，∠EAF=∠BAD，
∴∠BAF=∠EAD=90°，
∵AB=4√(2)，
∴BF=(AB)/(cos∠ABF)=(4√(2))/(cos45°)=8，
设BD=x，则EF=x，DF=x-8，
∵BE²=EF²+BF²，8√(2)<BE≤4√(13)，
∴128<EF²+8²≤208，
∴8<EF≤12，即8<x≤12，
则S=(π)/(4)DE2=(π)/(4)[x2+(x-8)2]=(π)/(2)(x-4)2+8π，
∵(π)/(2)>0，
∴抛物线的开口向上，
又∵对称轴为直线x=4，
∴当8<x≤12时，S随x的增大而增大，
∴16π<S≤40π．