（2014•江西样卷）如图，半径为1的⊙O的内接△ABC，∠ACB=45°，∠AOC=150°，作CD交AB的延长线于点D，且CD=BC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求AC的长．

Question

（2014•江西样卷）如图，半径为1的⊙O的内接△ABC，∠ACB=45°，∠AOC=150°，作CD交AB的延长线于点D，且CD=BC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求AC的长．

Answer 1

（1）证明：连接OB，
∵∠ACB与∠AOB都对

AB

，∠ACB=45°，
∴∠AOB=90°，即△AOB为等腰直角三角形，
∵∠AOC=150°，
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠BCO=60°，
∴∠ABC=∠ABO+∠CBO=105°，即∠CBD=75°，
∵CB=CD，
∴∠CBD=∠CDB=75°，即∠DCB=30°，
∴∠OCD=∠OCB+∠DCB=90°，即OC⊥CD，
则CD为圆的切线；

（2）过O作OM⊥AC于M，
∵OA=OC，
∴M为AC中点，OM平分∠AOC，
即AM=CM，∠AOM=∠COM=75°，
∵sin75°=sin（45°+30°）=(√(2))/(2)×(√(3))/(2)+(√(2))/(2)×(1)/(2)=(√(6)+√(2))/(4)，
∴sin∠AOM=(AM)/(OA)，即AM=OAsin∠AOM=1×

√(6)+

作业帮用户 2017-10-03

问题解析

（1）连接OB，利用圆周角定理得到∠AOB为直角，即三角形AOB为等腰直角三角形，根据∠AOC-∠AOB求出∠BOC=60°，得到三角形BOC为等边三角形，进而求出∠ABC度数，再由CB=CD，利用等边对等角求出∠DCB=30°，得到∠OCD为直角，即可得证；
（2）过O作OM垂直于AC于M，利用三线合一得M为AC中点，OM为角平分线，在直角三角形AOM中，利用锐角三角函数定义求出AM的长，即可确定出AC的长．

名师点评

本题考点：

切线的判定．

考点点评：

此题考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．

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