四边形ABCD内接于圆，且CD=1，AB=2，BC=2，∠ABC=45°，则四边形ABCD的面积是（）A．3+33B．3+224C．3+223D．3+34

Question

四边形ABCD内接于圆，且CD=1，AB=√(2)，BC=2，∠ABC=45°，则四边形ABCD的面积是（　　）

A．(3+√(3))/(3)
B．(√(3)+2√(2))/(4)
C．(√(3)+2√(2))/(3)
D．(3+√(3))/(4)

Answer 1

如图，过A作AF⊥BC于F．
∵AB=√(2)，∠ABC=45°，
∴BF=AF=1，
而BC=2，
∴F为CB中点，
∴AC=√(2)，∠BAC=90°，
∴BC应该是圆的直径，
∴∠BAF=∠CAF=45°，
∴∠BDC=90°．
∴直角三角形BCD中，CD=1，BC=2，
∴∠DBC=30°，∠BCD=60°．
过D作DE⊥BC于E．
∴DE=√(3)，
过D作DH⊥AF于H，
∴AH=(4−√(3))/(2)．
DH=CF-CE=1-1.5=0.5，
∴S_△AHD=(2−√(3))/(8)．
而S_△ABF=(1)/(2)，S_矩形DHFE=(√(3))/(4)，S_△EDC=(√(3))/(8)，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABF+S_△AHD+S_△DEC+S_矩形DHFE=(3+√(3))/(4)．
故选D．