初等数论同余问题的题目说明2^(2^5)+1是否能被641整除求（257^33+46）^26被50除的余数求n=7^(7^7)的个位数

Question

初等数论同余问题的题目
说明 2^(2^5)+1 是否能被641整除
求（257^33 +46 ）^26 被50除的余数
求 n=7^(7^7) 的个位数

Answer 1

（1）说明 2^(2^5)+1 是否能被641整除
2^(2^5)+1 能被641整除
即2^32+1==0mod641,参见
只须证2^(2^5)==2^32==-1 mod 641.
(以下记ax==b mod m为x==b/a mod m,这是洪伯阳记法,很好用)
2^6=64==-1/10 mod 641,故2^7==-1/5,(2^7)^4==1/625==-1/16,从而2^32==-1.毕.
写成一般的形式：
2^6=64mod 641,故5*2^7==640==-1,1==(5*2^7)^4==(625)*2^28==-16*2^28=-2^32,从而2^32==-1.毕.
（2）求（257^33 +46 ）^26 被50除的余数
φ(50)=20.故所求==(7^13-4)^6==(7*49^6-4)^6==3^6=729==29
（3）求 n=7^(7^7) 的个位数
φ(10)=4.
7^7 mod 4==(-1)^7==-1==3
n mod 10==7^3 mod 10==3