如图，P为∠AOB内一定点，M、N分别是射线OA、OB上一点，当△PMN周长最小时，∠OPM=50°，则∠AOB=（）A、40°B、45°C、50°D、55°

Question

如图，P为∠AOB内一定点，M、N分别是射线OA、OB上一点，当△PMN周长最小时，∠OPM=50°，则∠AOB=（　　）

A、40°	B、45°
C、50°	D、55°

Answer 1

考点：
轴对称-最短路线问题

专题：

分析：
作P关于OA，OB的对称点P ₁ ，P ₂ ．连接OP ₁ ，OP ₂ ．则当M，N是P ₁ P ₂ 与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，根据对称的性质可以证得：∠OP ₁ M=∠OPM=50°，OP ₁ =OP ₂ =OP，根据等腰三角形的性质即可求解．

作P关于OA，OB的对称点P ₁ ，P ₂ ．连接OP ₁ ，OP ₂ ．则当M，N是P ₁ P ₂ 与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，连接P ₁ O、P ₂ O，
∵PP ₁ 关于OA对称，
∴∠P ₁ OP=2∠MOP，OP ₁ =OP，P ₁ M=PM，∠OP ₁ M=∠OPM=50°
同理，∠P ₂ OP=2∠NOP，OP=OP ₂ ，
∴∠P ₁ OP ₂ =∠P ₁ OP+∠P ₂ OP=2（∠MOP+∠NOP）=2∠AOB，OP ₁ =OP ₂ =OP，
∴△P ₁ OP ₂ 是等腰三角形．
∴∠OP ₂ N=∠OP ₁ M=50°，
∴∠P ₁ OP ₂ =180°-2×50°=80°，
∴∠AOB=40°，
故选A．

点评：
本题考查了对称的性质，正确作出图形，证得△P ₁ OP ₂ 是等腰三角形是解题的关键．