设△ABC中的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cosB＝45，b=2．（Ⅰ）当a＝53时，求角A的度数；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．

Question

设△ABC中的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cosB＝(4)/(5)，b=2．
（Ⅰ）当a＝(5)/(3)时，求角A的度数；
（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

∵cosB＝(4)/(5)∴sinB=(3)/(5) 且B为锐角
（I）∵b=2，a=(5)/(3)
由正弦定理可得，(b)/(sinB)＝(a)/(sinA)
∴sinA＝(asinB)/(b)＝((5)/(3)×(3)/(5))/(2)＝(1)/(2)
∵a＜b∴A＜B
∴A=30°
（II）由cosB＝(4)/(5)，b=2
利用余弦定理可得，b²=a²+c²-2accosB
∴4+(8)/(5)ac＝a2+c2≥2ac
从而有ac≤10
∴S△ABC＝(1)/(2)acsinB＝(3)/(10)ac≤3
∴△ABC面积的最大值为3