如图所示，某传送带与水平地面夹角θ=30°，AB之间距离L1=53m，传送带以v0=10m/s的速率转动，质量为M=1.0kg，长度L2=1.0m的木板上表面与小物块的动摩擦因数μ2=0.4，下表面与水平地面间的动摩擦

Question

如图所示，某传送带与水平地面夹角θ=30°，AB之间距离L₁=(5)/(3)m，传送带以v₀=10m/s的速率转动，质量为M=1.0kg，长度L₂=1.0m的木板上表面与小物块的动摩擦因数μ₂=0.4，下表面与水平地面间的动摩擦因数μ₃=0.1，开始时长木板靠近传送带B端并处以静止状态．现从传送带上端A无初速地放一个质量为m=1.0kg的小物块，它与传送带之间的动摩擦因数为μ₁=(√(3))/(6)，（假设物块在滑离传送带至木板右端时速率不变，重力加速度g=10m/s²），求：

（1）若传送带顺时针转动，物块从A到B的时间t_AB（结果可用根式表示）；
（2）若传送带逆时针转动，物块从A运动到B时的速度v_B；
（3）在上述第（2）问基础上，从物块滑上木板开始计时，求：之后物块运动的总时间T．

Answer 1

（1）传送带顺时针转动，物块受力分析如图所示：

由牛顿第二定律，得：
   mgsinθ-f=ma₁；
   N-mgcosθ=0
且：f=μ₁N，
由运动学公式有 L₁=(1)/(2)a1

t

2 AB

联立解得：t_AB=(2√(3))/(3)s．
（2）传送带逆时针转动，刚开始物块相对传送带往上滑，物块受力分析如图所示：

根据牛顿第二定律得：
  mgsinθ+μ₁mgcosθ=ma₂；
达到传送带速度v₀所用时间为：t=(v0)/(a2)
位移 x₁=(1)/(2)a2t2
之后因为μ₁<tan30°，故物块相对传送带向下加速滑动，物块受力分析如图所示：

则  mgsinθ-μ₁mgcosθ=ma₁；
位移 x₂=L₁-x₁=(v2B-v20)/(2a1)
联立解得：v_B=3m/s．
（3）物块滑上木板相对滑动时做匀减速运动
对物块：a₃=-(μ2mg)/(m)=-μ₂g=-4 m/s²
对木板：a₄=(μ2mg-μ3(M+m)g)/(M)
解得 a₄=2 m/s²
设经过t₁时间物块与木板达到共同速度v₁，则：v_B+a₃t₁ =a₄t₁
解之得：t₁=0.5s，v₁=1m/s
因为μ₃<μ₂，物块能与木板保持相对静止，其整体加速度大小为：a₅=(μ3(M+m)g)/(M+m)=μ₃g=-1m/s²
物块与木板做匀减速运动直到停止的时间：t₂=(v1)/(a5)=(1)/(1)s=1s
物块运动的总时间：T=t₁+t₂=1.5s．
答：
（1）若传送带顺时针转动，物块从A到B的时间t_AB是(2√(3))/(3)s；
（2）若传送带逆时针转动，物块从A运动到B时的速度v_B是3m/s；
（3）之后物块运动的总时间T是1.5s．